12 H. V. Zeipel 



III. 



5. Nous en venons maintenant à montrer connnent on peut 

 trouver toutes les valeurs de c,, auxquelles correspondent des solutions 

 périodiques. Cette recherche est tout à fait différente dans les deux 

 cas (Z = 2^/ et q = 2r/' -f 1 . 



Dans ce chapitre <>n admet ((ue 



<i-=-^a. (42) 



D'après cette hypothèse la valeur moyenne R de la fonction 

 perturbatrice ne contient en vertu des relatioriS (15) que des termes 

 de degrés pairs en (p , ip' , y , ip' et peut évidemment s'écrire de la 

 façon suivante: 



R = Äo.0,0,0 + -.y ^2,0,0,0 V'^ + ^1,1,0.0 (PV' + .y ^0,2,0,0 ip"^ 



i 1 (4,^) 



+ des termes du 4'" degré au moins en (p , (p\ )/' , '/' • 



Le premier terme i?„,o.o,o est la fonction i?„ étudiée dans le cha- 

 pitre II (voir la formule (22)). Les autres coefficients sont donnés par 

 des développements analogues de la forme 



Ra,a.ß.ß' = 2 K'^.ri.^ f'<'s -5^', si ß + ß' = nombre paii- . (44) 



J=0 



et de la forme 



V. 



Ru,a.ß.!i' = 2 I^a,a.ß.^ «"1 S Â , si /? + ß' = nouibrc impair. (45) 



1 



Les coefficients i?^"„. .■ ^ sont des polynômes de t et — dont les 



coefficients sont des fonctions analytiques de r holomorphes dans le 

 domaine 



