Iv'eCHERCIIES SUK les SOLUTUJXS I'lilUUliua'ES iiE LA 3'' SORTE. 15 



(54) 



si ß -\. j-1' = i\n iioniliic paii-, mais au confi-aire 



lim ]i , . . V = Ü , 



si /->' -|- /•?' = un iKimbi'c impaii'. 



Dans la I'oi'nnile [WÅ) Ic si,u;ne -\- coi-respond au cas (n'l y = un 

 nombre paii', le signe — au cas dû r = un nombre impair. 



Ces fornnilés [W.]) et {'A) sont valables même si ;■„ = (» ((juand 

 q > 1 ) et si r„ = 1 . 



Nous posons mainfenanl 



-fl'L'.O.O.O 5 -^'1,1,0,0 ' -'■''0,11,2,0 1 ■^'•O.'J.l.l 



-'''1,1,0,0 5 -"-U.'.'.O.O , ■'l»,",I.l ? ^'■0,u,0,2 



(551 



Ces quatre déterminants sont évidemment des fonctions linéaires 



1 



de f et — avec des coefficients (jui sont des fonctions analytiques de 

 I- 



r , holomorphes dans le domaine (40). 



Des que r„ dans le domaine (23) a une valeur telle que 



J\r (r„) ^-' {v,\J.r (/'„) ^V {y„) == , (56) 



toutes les solutions périodiques qui correspondent à la valeur r^ , sont 

 évidemment comprises dans le système de formules: 



e = e' = , /. = m , où r = , +1, + 2 . . , (57) 



Ces orbites forment des cercles autour du soleil connue centre, 

 et l'angle J„ entre les plans des orbites s'obtient à l'aide de la formule 



cos J^ = ] _ 2 j/„ . 



Toutes ces orbites peuvent être tirées à l'aide de transforma- 

 tions simples de coordonnées de deux types indépendants l'un de l'autre: 



iß + ^J^ '■'. ~ P K = <* . '■ = r' = U , ^-^^-^ 



(^4J 



Hn (JJ apparaissent des conjonctions symétriques') sur la ligne 

 des neuds; et si q est impair des oppositions symétriques, si </' est 

 pair des conjonctions symétriques à 00*^ de la ligne des neiids. 



') PoixcARÉ: Les molliodes nouvelles etc. t. I, p. 101. 



