Recherches sur les solutions périodiques de la ;{'" sorte. iîf) 



1 ^_^,,„,4i + ..„fn ^ (Y:;.n ^j,^ -._^ y^.n ^,,^ ^.^ ^',„, + ( ^7 ^" sill X + H" fOSr)^.,,„_,+ . . . 



+ (G-^"'+" sin .f + /f-'"+" cos x) f'„ . 

 On ti'ouAo de la incinc manière: 



1 72'='"^^"+" = (0'"' sin .r + //"" cos .r) r„„ + (r,"'-'' sin .v + i/'-' cos .r)«'-'™-"+ • • • 

 - (12!)j 



+ (G' ''"> sin .r + //'-"" cos .r)p„ . 



Les nombres e^ , c^ . . définis ])ar les équations (127) sont tous 

 des (|uantités positives, car d'un coté on a précisément en vertu des 

 <lites équations 



2 (^'2i- ?/' = ( 1 + ^-2 y + '-^ y- + • • + <'i« ?/")"' , ( 1 -^' M 



,1-0 



tandisque d'un autre coté en introduisant dans l'équation (123) 



rr = (2rH- ^l 

 on obtient l'identité 



1 + t', y -r r, y- 4- . . + c,„ y" = 



= (l - 4// sin^ .^ A^ ) (l _4v/sin-2 ,^1^-) ... (l -iz/sin^ a .^J-^) , (131) 



en sorte que dans le développement du second membre de la formule 

 (130) suivant les puissances croissantes de y on ne trouve que des 

 coefficients positifs. 



Admettons maintenant qu'on a réussi à démontrer que 



R'' , R'' ,H"\... R'" sont > U quand < x < | . (132) 

 Alors en vertu de la dernière des définitions (125) celles des fonctions 



dont l'indice est impair sont aussi > dans le même domaine, car 

 lesdites fonctions sont > (juand x = 1) et = quand x = ■ . Les fonc- 

 tions G""' , (t '-* , . . . à indice pair sont naturellement toujours > par 

 suite de la définition (11 S). 



