Recherches sur les sot.t'tions i'i':Ki()i>i(irEs de la 3''' sorte. 41 

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= A, +J\r + A", r' + ... = J, + .1',,» + -^".,"' + • • • 



Maintenant (»n a tcnijours 



^I„ = A, = (140) 



en vertu des équations (142) et des fdniuiles 



«1,0 = /^i,o , 'Au = p'o,i «luand /' ^ 



«1.0 = - /?i.o ^ «0.1 = />o,i (luand )' = l , 



(150) 



lesquelles se tirent aisément des relations (94j, |95) et (9(5), 



Four rechercher si A\ et .1', disparaissent aussi, nous examine- 

 rons de quelle façon ces coefficients contiennent le paramètre t. Evi- 

 demment les fonctions «,.o , «o., , /^i,o , ßo.\ sont indépendantes de ^, puis- 

 qu'elles sont les coefficients des termes du premier degré dans le dé- 

 veloppement (135) de la fonction B. Au contraire il ressort de la for- 

 mule (8) que les coefficients r/.,„, a^,^^ b.,„. bo_2 et les déterminants J„ et 



j,, sont des fonctions linéaires de t et - . Les coefficients A\ et A'i 



f 



peuvent donc être considérés comme des fonctions rationelles de s où 



les numérateurs et les dénominateurs sont du 4™'' degré. Pour que 



par exemple A'„ soit s;^ pour toutes les valeurs de f, il faut que les 



entiers p et q satisfassent à 5 conditions. L'une de ces conditions se 



manifeste sous la forme 



Hiô , a) = , où .V = ^ , a = M— 



II{à\ u] étant un polynôme de 'V et «, Cette équation ne peut évi- 

 demment être satisfaite que par un nombre fini de valeurs de a dans 

 le domaine < « < 1 , c.à.d. que par un nombre fini de valeurs des 

 entiers p et q. 



Si p et q sont suffisamment grands on a donc H[<S , a) ='= et 

 avec cette hypothèse A\ et A\ ne peuvent par conséquent disparaitre 

 que pour des valeurs spéciales de f. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Irnpr. '"5 1904. 6 



