21 IL Methodik der Eimcssungen. Das G a u s s 'sehe Fchlergesetz. 147 



Werte in bestimmtem Verhältnisse seltener sind als kleine, dass mit andern AVorten die Häufigkeit oder "Wahr- 

 scheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers eine Funktion seiner Grösse ist. Wenn y die Wahrscheinlichkeit eines 

 Fehlers von der Grcisse x ist, so giebt die obige Gleichung diese Beziehungen zwischen y und x an. In ihr 



bedeutet e die Basis der natürliciien Logarithmen =^ 2,71S2S und — — (1) = Y'j^ (la) eine Konstante die 

 je nach der Schärfe der Beobachtmigsart vcrschietlcn ist. 



Üljertragen auf die individuelle Variabilität nächstverwandter Organismen besagt dieses Gauss'sche 

 Gesetz, dass die auf alle gleichartigen Individuen einwii'kenden gemeinsamen Lebensbedingungen gleichsam 

 bestrebt smd, in jedem emzelnen Falle denselben Wert einer Eigenschaft zu erzeugen (den normalen, mittleren, 

 tji^ischen Charakter derselben), dass dies aber niemals völlig gelingt, die Natur vielmehr bei jedem Individuum 

 einen gewissen Fehler macht, dessen Grösse und Häufigkeit eben jenem "Wahrscheinliehkeitsgesetze folgt. Wie 



dort so bezeichnet auch hier eine gewisse Konstante ^^~j^-^yXn) die jedesmalige Schärfe, mit der die 

 Natur bei ihren Versuchen zur Elrzeugiuig des typischen AA'ertes \-erfährt. Es ist klar, dass diese Konstante 

 ein Maß von dem ist, was wii- „Variationsgrad" oder „Variationsbreite" einer Eigenschaft nennen. 



Mit Hülfe der auf das Gauss'sche Gesetz aufgebauten Methode der kleinsten (Quadrate lässt 

 sich leicht berechnen, wie weit die Erfahrung, d. h. die empirisch gefundenen A\'erte einer Messnngsreihe, mit den 

 theoretischen Fordermigen jenes Gesetzes in Einklang stehen. Die Messimg von 200 kihistlich befruchteten 

 Scholleneiern ergiebt beispielsweise folgende empirische Zahlen: 



Strich (E) 60 — 61 — 62 — 63 — 64 



Empir. Eizahlen 2 -f Ö3 + 112 + 29 +■ 4 = 200 



Das aritlunetische Mittel A aller Messungen ist gleich 61,90. Man berechnet nun die Abweichungen 

 d jeder einzelnen Messung vom Älittel, quadriert dieselben, bildet die Smnme dieser Quath-ate (S rP), 



dividiert dieselbe durch die Anzahl m der Eüizelmessungen (^— ), zieht die Quadratwurzel daraus \f ^AL 



und erhält damit die AVurzel aus dem s. g. mittleren Abweichungsipiadrat -.= q = 0,756 in unserm Falle. 

 Von q gelangt man durch IVIultiplilvation mit 0,674ö zu dem Wert w, hier = 0,.51, der s. g. wahr- 

 s c h e i n 1 i c h e n Abweichung der Einzelmessung. ') Von q sowohl wie von w ans gelangt man dami weiter 

 zu den Integralwerten t, die angeben, wie viele Einzelabweichungen theoretisch nach dem G a u s s ' s c h e n 

 Gesetz zwischen besthninten Abweichimgsgrenzcn liegen müssen, z. B. zwischen den Abweichungen — 0,40 

 und — 1,40 von A = 61,90 oder zwischen den Eigrössen 61,50 und 60,50 Strich. Dies bedeutet, wie man sich 

 aus den frülieren Erörterungen (S. 140) erinnern wii'd, die Zahl von Eiern, die zu 61 Strich gehören. Be- 

 rechnet man auf diese Weise die ganze theoretische Reilie für die 200 Scholleneier, so ergiebt sich: 



Strich (E) 60 — 61 — 62 — 68 — 64 



Theor. Eizahlen 6 -f- 53 -f 98 -]- 39 -f 4 = 200 



Die Uebereinstimmung der empirischen mid theoretischen Zahlen ist keineswegs vollständig, jedoch 

 immerhin eine so grosse, dass die Gültigkeit des Fehlergesetzes für das A^ariieren des Eidurchmessers in diesem 

 Falle als erwiesen gelten kann. 



LTm dies zu verstehen, ist zu bemerken, dass die volle Gültigkeit des G a n s s ' s c h e n Gesetzes genau 

 genommen euie unendliche Zahl von Einzelmessungen (also in == oo ) sowie eine vollkonnuene Synunetrie der 

 Abweichungen voraussetzt, d. h. m letzterer Beziehung die Annahme enthält, dass positive Abweichungen von 

 dem wahren AVert des zu messenden Objektes ebenso wahrschehdich sind, wie negati\-e, dass somit u'gend 

 einer positiven Abweiehmig von der Grösse x eine ebenso grosse negative Abweichung auf der andern Seite 

 des Büttels entspricht. 



Betrachten wü' von diesen beiden Voraussetzuniren des Gauss'sche n Gesetzes zunächst mu- 

 die der imendlichen Grösse von m, so erhellt, dass die Übereinstimmung der empirischen mit der theoretischen 

 MessimgsreUie eine Funktion der Zahl vi mul um so grösser sein wird, je grösser m selbst ist, d. ii. je mehr 



') Die Werte q und w werden bei Kollektivgegenständen des Tici'- und Pflanzenreiches auch als „A'ar ia t i o n s - oder 

 Var iabi li t ä t s - Ko ef f i z i e n t en" bezeichnet. Wir nehmen hier als soleheri A'aviations-Koeft'izienten stets ir, d. h. den 

 wahrscheinlichen Fehler des Einzelwertes. 



