;148 Fr. Hcincke u E. Ebrcnliainii, l»ir Bcstimiiuiiig der sclnviiiiniciiileii FiM/hcicr unil die Methodik der Eimessuiigen. 22 



Individuen gleicher Art gemessen sind. Es findet hier eben das allgemeine Gesetz der Wahrsclieinlielikeits- 

 lelire Anwendung, dass erst die unendlielie häufige Wiederholung des gleiehen Ereignisses alle zufälligen Ge- 

 staltungen desselljen ausgleiclit, tlie u n a u s g e g 1 i e h e n e n Zufälligkeiten daher um so grösser sind, je kleiner 

 dii' Zahl der Beobachtungen ist. Was für die Üljercinstimmung der empirischen und theoretischen Messungs- 

 rcilie oilt, findet aber in gleicher Weise Anwendung auf den wahren AA'ert des zu messenden Objektes, in 

 unserem Falle den typischen Wert des Eidurchmessers. Absolut genau ergiel)t sich derselbe als das arithmetische 

 Mittel aus der gesannnten, sehr grossen bis unendlich grossen Zaid gleichartiger Eier. So lange dalier nin- 

 ein kleiner Bruchteil davon gemessen wird, muss das em]iirisehe von dem wahi'en Mittel um so mehr abweichen, 

 je Ideiner die untersuchte Zahl ist. Zugleich ergiebt sich, dass wiederliolte Messungen einer gleichen Zahl von 

 Eiern, z. B. eine zehnmal wiederholte Messimg von je 200 Eiern aus derselben gleichartigen Älenge, nach den 

 Gesetzen des Zufalls jedesmal ein anderes Mittel ergeben nuiss. 



Folgt hieraus die Fordenmg, dass zur scharfen Berechnung der typischen Eigrössc eine mö glichst 

 o-rosse Zahl von pjiern gemessen werden muss, so giebt uns andererseits die Wahrscheinlichlceitsrechnung 

 das Mittel an die Hand, den Grad der Annäherung des so empirisch gefundenen typischen Wertes an dem 

 unliekannten wahren AVert genau zu berechnen. Ist bei unseren oben als Beispiel angeführten 200 Schollen- 

 ciern die sog. wahrscheinliche Abweichung des einzelnen Eies = ic zu 0,51 gefunden, so bedeutet das iia 

 der Sprache der Wahrschehilichkeitsrcclinmig , dass in der theoretischen Reüie die Hälfte der 

 sehr zahlreichen Eier solche Durclmiesscr haben, die zwischen den Werten 61,90 + 0,51 und 61,90 ^ — 0,51 

 lie<'-en, also zwischen 62,41 und (3l,.')9, wälu'cnd von der andern Hälfte bei einem Viei-tel die Durclimesser 

 über 62,41 und bei einem Viertel unter 61,09 liegen. Dividiert man nun die wahrscheinliche Ab- 

 weichung IC = 0,51 durch die Quadratwurzel aus der Zahl der gemessenen Individuen, so erhält man in 



0,51 

 dem Werte TT^^^ = 0,036 den sog. wahrscheinlichen Fehler des mittleren ^\ ertes A. In der Sprache der 



Wahrscheinlicldceitsreelmung heisst dies, dass das walu-e Mittel wahi-scheinlich \x\ den Grenzen 61,90 -j- 0,036 

 und 61,90 — 0,0.36, also zwischen ()1,936 und 61,864 liegt. Oder mit andern Worten, man kann liei wieder- 

 holten Messungen von 200 andern Scholleneiern aus derselben Menge erwarten, dass das gefundene Mittel 

 ebenso häufig innerlialb wie ausserhall) dieser Grenzen liegt. Nimmt man den wahrscheinliclien lA'lder zwei- 

 mal, also zu 0,072, so kann man scliou S2 gegen 18 wetten, dass das walu'c Mittel zwischen (i],90 -|- 0,072 

 und 61,90 — 0,072, also zwischen 61,972 und 61,828 liegt. Xmimt man gar den wahrscheinlichen Feliler 

 fünfmal, also zu 0,180, so kann man 9999 gegen 1 wetten, dass das wahre Mittel zwischen (il,90 --\- 0,18ö 

 imd 61,90 — 0,180 liegt, also zwischen 62,08 und 61,72. Man kann diese durch das Fünffache des 

 w a h r s c h e i n 1 i c h e n F e h 1 e r s bestünmten Grenzen die sicheren (wenn auch niclit absolut sicheren) 

 Grenzen des wahren Mittels nennen. Allgemein ergielit sicli hieraus, dass die Sicherheit des gefundenen 

 Mittels proportional der Quadratwurzel aus der untersuchten Zalil zuninmit. 



Sollte mm eine weitere Messung von 200 Schoileneiern etwa das Mittel 6;i,00 ergeben, während die 

 erste a-emessenc Portion das Mittel 61,90 ero-ab, so wäre dies ein sicherer Beweis, dass beide Portionen \ci\\ 

 Eiern nicht gleichartige r Natur mit nur rein zirfälligcn Unterschieden sind, sondern dass neben diesen rein 

 zufälligen Verschiedenheiten derselben nocli solche bestehen, die eine die Gesamtheit jeder Portion allgemein 

 betreffende und in bestimmter Richtung A'erändernd einwirkende Ursache halieu. Wir gelangen hier zu jenen 

 schon oben (S. 145) besprochenen Ursachen, die nicht nur eine zufällige, sondern aucli eine wü'kliche Verschieden- 

 heit der typischen Eigrössen bewirken können, z. B. Verschiedenheit der Spezies oder der Rasse oder des 

 Alters der Fische, von denen die Eier stammen. 



Ist somit das Gauss'sche Gesetz in seiner Anwendbarkeit auf die individutdle Variabilität nicht mu- ein 

 Mittel, das Wesen dieser Variabilität zu erkennen, sondern auch die rein zufälligen von den wirklichen Unter- 

 schieden zweier Individuengruppen exakt zu sondern, so (>rhellt nicht nm' seine grosse Fruchtbarkeit für die 

 wissenschaftliche Behandlung der uns hier beschäftigenden I^'obleme, sondern macht es uns auch zur iniab- 

 weisbaren PfHcht, die Methode der Eimessungen auf dieses Walu'scheinlichkeitsgesetz zu begründen, wie ilies 

 auch von zahlreichen neueren Forschern auf ähnlichen Untersuchmigsgebieten geschehen ist. 



Bevor wir jedoch an diese Aufgabe hei'angehen, erweist es sich auf (irund neuer und allerneuester 

 Untersuchungen, uameutlieh von dem Engländer P c a r s o n und unserem vt'rstorbeuen Psyehophysilier 



