23 II. Methodik der Eimessungen. Fech n p r 's Kolkktivmaßlehre. 149 



Theodor F e c h n o r (30) als notwendig, das sog. Gauss'sclie Gesetz in seiner Anwendbarkeit auf die 

 individuelle Variabilität einer bestimmten Modifik'ation oder besser einer VeraUgemeinernno- zu unterwerfen. 

 Das Ga u s s'sch e Gesetz ist als solehcs von seinem berühmten Entdecker nur als Gesetz der Beob- 

 achtung s f e h 1 e r ermittelt und angewendet wonlen. Jeder Beobachtung nun liegt eine reale, scharf 

 und unveränderlich bestimmte Grösse des zu messenden Objektes zu Grunde. Den Einzelmessuiio-en dieses 

 Objektes konmit dagegen nicht die gleiche Realität zu, es sind \-iclmehr bei jeder neuen Messiuio- wechselnde? 

 subjekti^•e Erzeugnisse des Beobachters. Bei einei- Redie gleichartiger Naturobjekte verhält es sich daoeoen 

 wesentlich anders. Hier sind das Reale gerade die zahlreichen verschiedenen Einzelfälle oder Individuen da- 

 gegen ist der typische mittlere Vt'crt derselben rein ideal und eine blosse Abstraktion aus den realen Einzel- 

 objekten. A priori ist also eine vollkommene Gleichstellung einer Reihe einzelner Messungen eines und des- 

 selben realen Objektes mit einer Reihe \on Messungen gleichartiger Gegenstände nicht ohne weiteres ge- 

 stattet, obwohl offenbar beide das gemeinsam haben, dass sie nach Zufall \'arüeren. Um den wichtii-en 

 Unterschied zwischen beiden deutlich festzulegen, nennen Avir hier nach dem ^'^organge von F e c h n e r (20) M 

 eine nach Zufall variierende Gruppe gleichartiger (Objekte einen K o 1 K' k t i v ge g e n s t a n d und die Lekrc 

 die sieh mit der wissenschaftlichen Messung der Eigenschaften solcher Kollektivgegeiistänile beschäftiol: 

 K o 1 1 e k t i \- m a ß 1 e h r e. ]Mau unterscheidet r ä u m liehe und zeitlich e l\ollekti\geuenstände. 

 Räum liehe sind z. B. die gleichzeitig lebenden Mitglieder einer menschlichen Familie oder die o-leichzcitio- 

 nebeneinander abgelegten p]ier eines Fisches. Zeitliche sind z. B. che mittleren Temperaturen des 

 1. Januar, an einem gegebenen Orte durch eine Reilie \-on Jalu-en verfolg-t, die jährlichen mittleren Kornijreise 

 eines gegebenen Ortes u. a. m. M'as im besonderen die organischen K o 1 1 e k t i v o- e o- e n s t an d e 

 betrifft, so ist es von grosser Wichtigkeit, solche in weiterem und solche in engerem Stmic oder besser solche 

 höhere n und solche niederen Grades zu unterscheiden. Die befruchteten, gleichzeitio- abgeleo-tcn 

 Eier eines Schollenweibchens sind ein Kollektivgegenstand niedersten Grades, die sämtlichen zu \-erscliietlenen 

 Zeiten nacheinander abgelegten Eier desselben Weibchens schon zweiten Grades, die sämtlichen Eier emer 

 lokalen Rasse der Scholle schon dritten Grades, die der Scholle als Spezies schon vierten Grades. Streno- 

 genommen variieren nur die Kollektivgcgenstände Jiiedersten Grades nach blossem Zufall, was gerade für 

 die vorliegende Untersuchung von Bedeutung ist. 



Schon Q u e t e 1 e t, namentlich aber P e a r s o n (s. die Schriften von P e ar s o n bei D u n c k e r (17) ) und 

 Fe ebner haben mm überzeugend nachgewesen, dass das Gauss'sche Gesetz für zahlreiche Kollektiv- 

 gegenstände, namentlich statistische, wie Kornpreise, Geburts- und Sterblichkeitsziffern u. a., insofern nicht 

 zutrifft, als es auf der Voraussetzung einer viUligen Synmietrie der Abweichungen von einem Hauptwert 

 begründet ist oder mit andern Worten auf der Aiuiahme, dass negative und positive Abweichungen cdeichwahr- 

 scheinlieh sind. Es ist theoretisch sehr wohl dcnlcbar und Mird in der That durch die Erfahrung bei \ielen Kollektiv- 

 gegenständen der eben genannten Ai-t bestätigt, dass die AA'ahrscheinhehkcit positi^■er und negati\-er Ab- 

 weichungen nicht gleich, sondern verschieden gross ist. Wenn die Wahi-scheinlichl<eit, dass eine Abweichung 

 negativ wird, sich zu derjenigen, dass sie positiv wird, wie p : q \-erhält, p ~\- q = l also die AVahr 

 scheinlichkeit bedeutet, dass überhaupt eine negative oder positive Abweiclumg entsteht, oder mit andern 

 AVorten, weim die die Abweichung vom typischen 'Werte bewirkenden, in zufälliger Kombination wirkenden 

 gleichwertigen Elcmentarursachcn im A^erhältnis von /> : q negati\- odei- positiv wirken, so bei'cchnen sich die 

 Wahrscheinliclikeiteu der verschiedenen möglichen ])ositiven und negativen Abweichungen allgemein durch 

 Entwickehmg des Binomiums (p -|- q) n, wo n die Summe aller in jedem cLuzelncn Falle oleichzeitig zur 

 Wirksamkeit gelangenden Elcmentarursachcn bedeutet und meistens eine grosse (beim Gaus s 'sehen Gesetz 

 imendlich grosse) Zahl ist. Ist nun, vdc. im Gauss 'scheu Fehlergesetz p --= q = '/j, so werden durch Ent- 

 wickehmg des Binomiums (Vj + '/j)" die AVahrscheinlichkeiten gleichgrosser positiver und negativer 

 Abweichungen ebenfalls gleich gross. Nünmt man die AA^alu'sclu>inliclilveitcn als Ordinaten, die .Vbweii'hungen 



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') Fcchiier, 20, Einlritiuig S. 3, § 1. „Unter einem Kollcktivgoiicnstande (kurz K. G.) verstehe ieh einen Gegenstand, 



der ans unbestimmt vielen, nacli Zufall variierenden Exemplaren besteht, die dureh einen Art- oder GaftimgsbeaTiff zusammen- 

 gehalten werden". 



