152 Fr. Heincke u. E. Ehrenbaum, Die Bestimmung der schwimmenden Fischeier und die Methodik der Eimessungen. 26 



der a, , d. h. deijenigcn Einzohverte, die Ideiner als der Haiiptwert A sind, also unter ihm liegen, und mit 

 m' die Zahl der a' . d. h. der Einzehverte, die grösser als der Hanptwcrt sind, also über üim liegen ; wobei 



also 7K, 4- m' = ?»i. Ist S« die Summe aller Einzelwerte, mithin — = A, so ist "^n, die Sununc aller 

 Einzelwerte a, , die sämtlich kleiner als A sind, und S «' die Summe aller a' . die sämtlich grösser als A 

 sind. Bezeichnet man mit 6 allgemein die Abweichungen \on dem Hauptwerte A, so sind in unserm Falle (-), die 



Abweichungen der a, , also die negativen, 6' die |)ositiven Abweichuno-en \'oii ^4. - oder '—^ — s 



° ^ ' '^ iji. iit 



ist die soo;. mittlere 'Abweiclnniii- aller a vom Hauiitwerte ohne Rücksicht auf ihr Vorzeichen, -^ =^ s, die 



^ ' ' »1, 



mittlere negative und — ^^- = s' die mittlere positive Abweichung. Mit m' — m, = u wird ;dlgeraein der 



Unterschied zwischen der Zahl der positiven und n(■gati^•('u Abweichungen bezüglich des Hauptwertes be- 

 zeiclmet. Mit z endlich bezeichnet man die Zahl der Einzelobjekte a, die eine gleiche oder als gleich ange- 

 nommene Grösse haben, z. B. die Zahl aller Eier, deren Durchmesser 61 Striche beträgt. 



Die für unsere Zwecke wichtigsten Hauptwerte einer asymmetrischen Variationsreihe süul nun 

 folgende: (vergl. Fcchner 20, X, 160 ff.). 



1. Das arithmetische Mittel A. Er ist bestmnnt dadurch, dass er in Beziehung auf die 

 Grösse der Eüizelobjekte a die Mitte der Reihe bildet und dass somit, auf ihn bezogen, die Summe der 

 negativen Abweichungen (S 0,) = der Summe der positiven (2 (-)') und die Sunnne der Quadrate aller Ab- 

 weichimgen (S0^) ein Minimum ist. 



2. Der Zentral wert C. Er ist bestimmt dadurch, dass er in Beziehung auf che Zahl der 

 Einzelobjekte a die Mitte der Redie bildet, dass somit, auf dm bezogen, die Zahl der negativen Abweichungen 

 m, = der Zahl der positiven m' ist und zugleich die Simime aller Abweichungen (S 0) em Minimum ist. 

 Er kann auch als „wahrscheinlicher Wert" eines Kollektivgegenstandes bezeichnet werden, insofern, 

 als er ebenso oft über-, wie unterschritten Avird. 



8. Der dichteste Wert D. Er ist dadurch bestimmt, dass die :iuf ihn fallende Zahl .~ der 

 Eüizelobjekte ehi Maximum ist (die grösste Ordinate der Variationskurve) und dass sich, auf ihn bezogen, die 

 Zahl der negativen zin- Zahl der positiven Abweichungen verhält, wie die mittlere negative zur mittleren 

 positiven Abweichimg, also m, : ni --= b, : z' . 



Die Lage dieser drei Hanptwerte zu einander ist durch das sog. Lagengesetz (Fechner, 30, S. 71 ff.) 

 genau bestimmt (s. Fig. 1, S. l.öO). Der Zentralwert C liegt stets zwischen D und ^ und die Abstände der drei 

 Werte folgen unter der Voraussetzung verhältmssmäsig geringer Asymmetrie^ der Regel, dass a n n ä h e r n d 



p = J^ = ^ = 0-'854; 7ö = 3,141.^9 



Je grösser die Asymmetrie einer Messungsreihe ist, desto weiter fallen die tlrei Hauptwerte A, C und 

 D auseinander, desto ungleicher werden also auch die beiden Seiten der Variationsknrve bezüglich D, dem 

 die grösste Ordinate, also der Gipfel der Kurve entspricht. Je kleiner die Asymmetrie ist, um so mehr näliern 

 sich umgekehrt die Hauptwerte einander mid bei völliger Symmetrie der Variabilität, die die Voranssotztmg 

 des einfachen G. G. bUdet, fallen sie alle drei in denselben einen Wert zusammen, wie leicht ersichtlich ist. 

 Demi bei vollkommener Symmetrie ist bezüglicli des Hauptwertes, zu dem der Gipfel der Variationskurve 

 gehört, m, = w' und S 0, = S 0' , weil ii-gend einer negativen Abweichimg stets eine gleichgrosse positive 

 entspricht, mithm auch £, = s' und m, : m' = e, : e' . Behn Zutreffen des einfachen G. G. ist also 

 das arithmetische Mittel A zugleich der Zentralwert C und der dichteste oder iiäufigste. d. h. dei- wahrsciiein- 

 lichste Wert D. 



Da, wie schon ölten liemei-kt wurde, auch bei vdllkdinnicnem Zutreffen des einfachen G. G., empiiiseh 

 doch in jedem Falle wegen luiausgeglichener Zufälligl^eiten ein gewisser Grad von sog. n n w e s e n 1 1 i e li e r 

 iVsymmetrie beobachtet wird, der bei genauer ^Messung der Eüizelobjekte nur von der Zahl der letzteren 

 abhängt, so gut es die wahrscheinliche Grösse dieser unwesenthcheu Asymmetrie zu berechnen, um beurteilen 

 zu können, ob neben ilir noch eine wesentliche Asymmetrie besteht. Um dies Ziel zu erreichen, bezeichnet 

 man den Grad der Asymmetrie dadurch, dass man den Wevt ?f. = m' — m, bezüglich A bestinunt und 

 untersucht, wie gross derselbe mit Wahrscheiidichkeit, d. h. der Sicherheit 1 gegen 1, erwartet werden kann. 



