27 II- Methodik der Eimessungen. Methode der Berechnungen. 153 



wenn mir iiiiwosentliche Asymmetrie besteht. Bezeichnet man die'sen wahrschoinlielien "Wert von n mit V, so 

 ist \' =- 0,40659 Vm (Fechner, 20, 2ö0) wo w? die Gesamtzahl der Einzehnessungen bedeutet. Sei diese 

 z. B. 100, so ist also V = 4,0659, d. h. man kann bei sehr oft wiederholten Messungen von je 100 Schollen- 

 eiern derselben Herkunft eine wahrscheinliche Differenz von 4,0659 z\\'ischcn m, und m' bezüglich A ei-wai-ten. 

 Bleibt der cmpu-isch gefimdene Grad der Asymmetrie daher erheblich u ii t e r dieser Zahl, so kann man mit 

 ziemlicher Sicherheit symmetrische oder äusserst schwache asymmetrische Variation voraussetzen, übersteigt er 

 aber jenen Wert wesentlich, so ist mit derselben Sicherheit wesentliche As\anmetrie anzunelnnen, liegt er 

 endlich sehr nahe jener Zahl, so ist die Wahrscheinlichkeit für wesentliche und unwesentliche As\amnetrie gleich. 



Um nun zur Bereclmung der cb-ei Hauptwertc einer Messungsreihe zurückzukehren, wählen wir als 

 Beispiel eme schon oben (S. 147) angefühi-te Messung von 200 künstlich befi-uchtetcn SchoUeneiern : 



Strich (E) « 60 — 61 — 62 — 63 — 64 



Eizalilen z 2 -[- 53 + 112 4- 29 -[- 4 = 200 = m 



Der Hauptwert A, das arithmetische Älittel, bereclmet sich am einfachsten luid unmittelliar, indem die 

 Summe aller Einzelwerte durch ihre Gesamtzahl m di\-idiert wird, wobei die Summe aller n diu-ch Multiplizieren 

 jedes einzelnen n mit dem zugehörigen z luid Suimnierung der Produkte erhalten wird. Man erhält A = 61,900. 



Um die weit umständlichere Berechnung der Werte C imd ü zu ermi'igliclien, muss man zunächst 

 darauf zurückgehen, dass, weim in obiger Messungsreihe 112 Eier als zu 62 Strich gehörig aufgeführt werden, 

 dies nicht etwa bedeutet, dass alle 112 Eier genau 62 Strich messen, vielmehr chese 112 Eier sich faktisch 

 imierhalb des Intervalles von 61,5 bis 62,5 Strich verteilen und nur deshalb unter euie eitizige Grösse gebracht 

 sind, weil die richtige ]\Iessmig der Grösse jedes einzelnen Eies imierhalb dieses Intervalles zu unsicher oder 

 unmöglich ist. Denken wir xms nun die 112 Eier üuierhalb dieses Intervalles in gleichmässigen Abständen 

 verteilt, was zwar nach den Gesetzen des Zufalles nicht streng der Fall ist, indem vielmelu' die Werte nach 

 dem dichtesten Weit zu dichter verteilt sind als in entgegengesetzter Richtimg, aber bei verhältnismässig 

 germgem Umfang des Intervalles angenommen werden kann und praktisch angenommen werden muss, so lässt 

 sich zunächst der Hauptwert C verhältnismässig leicht durch Interpolation bestmimen. Da bezüglich C die 

 obere und untere Abweichungszahlen m' und m, gleich sind, also jede = 100, so liegt C offenbar üi dem In- 

 tervall 61,5 — 62,5 mid berechnet sich sehr einfach nach der allgemeinen Formel (Fechner 20, 169). 



(1) c = g, -r !__« j 



Hier bedeutet g, den Anfang des sog. Eingriff sintervalles, d. h. desjenigen, in dem der Haupt- 

 wert liegen muss, also 61,5; 7« ist die Gesamtzahl der a, also 200. y die sog. Vor zahl, d. h. die Gesamtzahl 

 der miterhalb des Emgrrffsintervalles liegenden a, also 2 + 53 = 55; z„ die Zahl der zmn Eingriffsmter- 

 vall gehörenden «, also 112 und J endlich die Grösse des Eingriffsiutervalles, also 62,5 — 61,5 = 1,0. Hier- 

 nach ist also 



1 00 5ö 



C = 61, 5 + \^2 "" ^'^'' "^ '^'"^'^- ^ *^'^'^^^- 

 Am schwierigsten ist die Berechnung des d i c h t e s t c n W e r t e s D. Auch er liegt als derjenige 

 AYert a, dem das grösste s zukommt, ersichtlich innerhalb des Intervalles 61,5 — 62,5 und wird als solcher 

 empii-isch ebenfalls durch Literpolation nach der Proportion: 



(2) X : {i - X) = (2.. - «_,) : (z, - z,) (F e c h n e r 20, 185) 



bestimmt. Hier bedeutet x den zu suchenden Wert, der zu dem Anfang g, des Eiugriffsintervalles, also des- 

 jenigen, in dem D liegen muss, hinzuzuzählen ist, um D zu erhalten, so dass also D =-- g, -\- x. i bedeutet 

 die dm'cli die ganze Reihe der Messungen sich fortsetzende Litervallgrössc, hier also =^ 1; z„ die zum Em- 

 griffsuitervall 61,5 bis 62,5 gehörende Zahl von «, also = 112; 3_j die zum nächtanstossenden Litervall nach 

 der negativen Seite, also zu 60,5 bis 61,5 gehörende Zahl, also = 53; z^ die zu dem nächstanstossenden 

 Inte^'^'all nach der positiven Seite gehörende Zahl, also = 29. Demnach: 



CK : (1 — x) = (112—53) : (112 — 29) 

 woraus sich x ^= 0,415 und D = 61,5 -\- 0,415 = 61,915 ergiebt. Dieser so gefimdene rein empirische 

 häufigste Wert D — wegen semer Berechnmig diu'ch Litei-polation mit D/ bezeichnet — ist jedoch in Be- 



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