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Anhang. C. Berechnung der Hauptwerte und der theoretischen Reihen. 



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Wenn es unniüglich ist den i;onaiion \\'crt von A zu bcnntzcn, was dami eintritt, wenn m in Sa 

 nicht aufgeht, A also unendlich viele Stellen hinter dem Komma besitzt, so fällt bei Benutzmig eines abgekürzten 

 Wertes von A ^ l^ zwischen die imter IIa und IIb gefundenen Werte, lässt sieh also stets mit beliebiger 

 Genauigkeit bestinnnen, während sich bei der anderen INIethode die Genauigkeit in diesem Falle sehr schwer 

 kontrollieren lässt; auch bei Benutzung niu- emes Wertes liefert IIa oder IIb einen genaueren Wert als I, 

 da man bei dem einen zu berechnenden (Quadrat leicht mehr Stellen l)enntzen kann, was bei I einen grossen 

 rechnerischen Aufwand erfordert. ') 



8. Berechnung von q, f, F. 





A'-* 



/SA= 



m-\ 

 f = 0,6745 7 



') Die allgemeine Richtigkeit der Methode IIa und IIb lä-sst -sich in folgender Weise darthun: 



Gegeben seien n Intervalle: /,, l^, 1^ /„, mit den zugehörigen Zahlen r,, 5:3. «j ... . 



Intervalls, also auch der Unterschied zwi.schen zwei auf einander folgenden / sei i. 

 Wir haben jetzt folgende Summe zu bilden : 



dann ist: 



(.1-/,! sei gleich B. 

 (.4— /j) = B~li 

 (A-h) = B-2i 



x.)i ; die Grö.sse eines 



(.4— /„) = B—(n—l)i; 

 dies in SA' eingesetzt, giebt: 



SA^ = ■.. -B^ + ■» {B-lif + '., {B-2i)'' -\- + ;„ (B-{n-luf 



= S' (•, + -.a + -3 + . . . + ■„> + '' 1-2 •'^ + -z-'' + U-^^ + . . . + z,, in-m 

 = 2B (■.,./ + -.j-^/ +...+ ■,„ (n-h I) 

 ^^a = £^ . ,„ 4- i^ i:,P + :,-2^ + .... + ,„ ,„_;,', 

 - 2B (x^-i + x,-2i + . . . . + ;,„ i«-i) i). 

 Die letzte Klammer formen wir jetzt in folgender Weise um : 

 (xyi 4- x,-2i + . . . 4- ;„ (n-ll>) = l, h + </. + In ', + (/, 4- -'') ^^3 + • ■ . + (/, 4" ("-i)'l ^w.-'i (*. + .•j+ . • • + z,t^ 



= '1 .?i + h si + ''3 .?3 + • • • + lii-su-'i ■ >" 

 = S Ix — /,;» 

 = S a — l^in 



= A-7n — l,}/i = 111 (-1— /, I ^ III ■ B 

 dies eingesetzt giebt: 



SA^ = -B'-'" + '■' (r^-?'- + i-3 -" + • • • + .i« in-lf} - 2iiiB' 

 = i' iz-i-P + .-3---" + ■ ■ • + Xn Ui-m - Will. 

 Damit ist IIa bewiesen; die Richtigkeit von Uli ergicht sich in ganz ähnlicher Weise, wenn man statt (A—li) den Wert 

 (A— /„) in die Gleichung von SA^ einführt. 



') Die Formel 



/SA^ 



m-\ 



enthält die Korrektion auf ein unendliches m. Bei grossem m ergeben beide Formchi sehr 



nahe übereinstinmicndc ^Vcrte. AVir haben deshalb bei der Berechnung der theoretischen Reihen in unseren ausführlicher be- 



handelten Beispielen, Ijei denen es sich stets um griisserc Zahlen handelt, die Formel 1/ 



I 



/SA» 



m 



benutzt. In den Maßtabellen sind 



dagegen f und F nach der Formel 



m-\ 



lierechnet. 



