8 R. Hoppe. 



§• 5. 



Nimmt mau nur eiii System von 3 Axen an, so hat man cos (p = 

 zu setzen. Für A = ergibt sich dann: 



a=l; 5 = 0; c = . 

 Die Axen sind die Diagonalen eines Oktaeders. 



Nimmt man 2 Systeme, also 6 Axen, und setzt 



cos(pi = 1/| ; cos(p2= — l/j ; A = ; 

 so kommt 



61/2 



5 



61/2 ' »^ 5 ) 



wo die doppelten Vorzeichen den beiden Systemen entsprechen. Die Axen 

 sind die diameù-alen Diagonalen eines Ikosaeders. 



Setzt man statt dessen 



cosipi = i ; cos Al = |1/| 

 coscp, -— i ; A, = , 



so kommt 





6V3 ' ' 61/3 



_ 1 + 21/2 , _ _ 1—1/2 

 ""' ~ "3Ï73" ' ''^ - ''^ - -3^73" • 



Die Axen sind 6 diametiale Diagonalen eines Dodekaeders; die 4 übrigen 

 aber sind unter sich Diagonalen eines Hexaeders. Demnach zerfallen die 

 10 diameti-alen Diagonalen eines Dodekaeders in 2 Systeme zu 6 imd 4 

 Axen, welche der in Rede stehenden Eigenschaft einzeln genügen. 



Beachtet man, dass die Ecki-adien eines Teti'aeders mit den Diago- 

 nalen eines Hexaeders zusammenfallen, so erhellt, dass die diu-ch die Ec- 

 ken jedes regiüären Polyeders bestimmten Axenlagen in den 2 Gesetzen von 

 §. 3. 4. enthalten sind, denen gemäss sie die hier besprochene Eigenschaft 

 haben; dass jedoch das letztere Gesetz jene Lagen nur als specielle Fälle 

 umfasst, und weit ausgedehntere Anwendung gestattet. 



