10 R. Hoppe. 



Nimmt man mehi-e Kränze von je beliebig vielen Axen an, so hat 

 man für jeden einzeln: 



n . 



2 sm^A — n cos^'ä = A , 



woraus : 



^n—2A 



cos 



*=v^ 



3w 



Die verschiedenen A sind ganz beliebig so zu wählende Grössen 

 < Y und ^ — w , dass 



wird. Als Beispiel der Anwendung erhält man filr A^='\/b^ ^2 = — 1/5 

 zwei Ejränze zu je 5 Axen, welche die diametralen Diagonalen eines Do- 

 dekaeders sind. Der Winkel 3- ist hier ftir beide Kränze dieselbe Grösse. 



§■ 7. 



Von hier kann man leicht noch einen Schritt weiter gehen. Substi- 

 tuirt man die Werte (11) (5) in Gleichung (3), so kommt: 



2«ä = («<2 + v"^) ~ sin^^Ä = w'^n cos^ä 



= - sm^a + n (cos^a — \ sin^a)w^ . 



Jetzt kaim man von den rechtwinkligen Axen, deren bloss eine vor- 

 kommt, absehen, und w einfach als den cos. des Wmkels zwischen der 

 Mittellinie des Ki-anzes imd der variabeln Geraden betrachten. BUdet man 

 nun um beliebige andre MitteUmien Kränze von gleicher Neigung a, und 

 gleicher Axenzahl n, und dehnt ^oc^ über alle Axen aus, so wird 2*^ 

 constant, wenn ^w^ constant ist; d. h. wenn die MttelJmieu zusammen den 

 Bedingungen (4) (5) genügen. Dieser Umstand gibt uns folgenden Satz: 



Die Quadratsumine der cos. der Richtungsivinkel einer variabeln Ge- 

 raden gegen beliebig viele reguläre Axenkränze ist constant und gleich j der 

 Anzahl der Axen, wenn 1) die Anzahl der Axen jedes Kranzes, 2) die 

 Neigung derselben gegen ihre Mittellinien für alle dieselbe ist, und 3) jene 

 Quadratsumme in Bezug auf die Mittellinien constant ist. 



Jene Quadi-atsumme ändert sich also nicht, wenn man beliebige Ki-än- 

 ze um ihre Mittellinien dreht, oder die gemeinsame Neigung variiren lässt. 



