12 R. Hoppe. 



Die Gleichungen des Radius, d. i. einer Geraden vom Anfangs- 

 punkt nach xyz , sind, wenn | , ;? , (^ die laufenden Coordiiiaten bezeichnen, 



00 y z 



und zwar sind wegen Gleichung (1) «, 3/, z selbst die cos. seiner Richtungs- 

 winkel. Da nach Gleichung (2) die Tangente der Curve auf dem Radius 

 senkrecht steht, so liegt der Radius in der Normalebene, und bildet mit der 

 Hauptnormale und Pollinie ein rechtwinkliches Dreieck. Ist demnach u der 

 Winkel zwischen dem Radius und der Pollinie, so ist der Winkel zwischen 



dem Radius und der Hauptnormale == &; + _ , und man hat: 



cosw = xl -\- ym A- zn ^= ^ [ajy's"] 

 — siuÄ) = Ç [xx'^ + yy" -\- zz") = — q 



wo l, m, n die cos. der Richtungswinkel der PoUinie bezeichnen. Dem- 

 nach hat man 



(8) Q = siiiÄ) 



(9) [x y' z"] = cot&) . 



Mit Beachtung der Werte von l, m, n , nämlich 



l = Q [y'z"] ; etc. 

 werden jetzt die 9 Gleichungen (7) 



(10) as cosä) = l — [yz'] sin« ; etc. 



(11) x' C0& CO = [y"z\ siaû) ; etc. 



(•12) aj"cos&) = fei — l : etc. 



^ ^ sm&j 



woraus durch Elimination von [yz'] und l 



(13) X + x" sin^Ä = l GQ&u ; etc. 



(14) (x + x") siuÄ) = [yz'] cos&i ; etc. 



Die Gleichungen (13) zeigen, dass die Coordinaten des Krümmungsmittel- 

 punkts, nämlich x + q^ x" , etc. den Gleichungen 



1 = JL = Ç. 

 l in n 



