Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 3 

 et des équations (1) et (9) nous obtiendrons pour k > k^ la formule 



(\0)f(k)=JpÇv)<Lv - 1 \j\k + 1) _/(A:)} + Ai-{f{k.^V)lf\ky, 



(- l)"^n 



Nous emploierons dans ce qui suit les notations 



(' ') "« = '^ - -Ä/'(') + -rêsTïf^'^ -■■■■ 

 + ^-'>' 1.2":. 2,. -^"""w 



et, ^ étant un nombre entier positif quelconque, 



1 . 2 . . . 2?i 

 Cela posé, on tire des équations (10) et (12) pour k>k^ 



(13) u, = g(- 0"A+i {/^"+'^(/[> + 1) - f'"'+'^ (k)} , 



^ ^ 1 .2.3...(2n + 2) ^-^ ^ ^ ^ •' ^ ^f ' 



et, par suite, pour m > ^„ 



(14) 1"».. = T ./T^^^^r, .> *^" « ^/'""''^^ + ^) - >'""" ^^'^ i • 



i=i„ i . J . d . . . (^zw + /; t=(.. 



La fonction f-'"^^\x) ne changeant pas de signe pour x^k^ ^ il 

 s'ensuit, que les différences, qu'on obtient de l'expression 



f^"+'^(k^ l)-f''+'>(k) 



