Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 5 

 et, par suite, on aura 



/■(1) A ,-', 



B. 



B„ 



(17) K=-^ - ff|/(l)+xi^4/"(l)-. . . + (- 1)" n2^n^^"""^^> 



+ lim ^ 



m+f(k+ ll ^£}\^)dx - ^ {fXk + 1) - fXk)} + 



+ (- 1)" 



i>\ 



[r"-%ic+i)-f"-'Ki^)} 



1.2...2n 

 d'où l'on tire, après quelques réductions faciles. 



(18) K = lim j/(l) +/(2) + . . . +/(m _ 1) + /^) _ f/C^)^^ 



- T^ ; (».) + ... + (- !)■ i.a'':.^,. /'"-"^'")} ' 



et, par conséquent, on aura 



(19) /(1) +/(2) + . . . . +/(« - 1) = / /0^0^^'« + ^^ - 



/On) 



Br 



B.. 



+_^/'(.) (- o-;^-f^r-(»o + ')^ , 



en désignant par â une quantité, qui s'évanouit pour m = oo . 



Remplaçons maintenant dans l'équation (10) k par k , ^ -f 1 , 

 ^ -}- 2 , . . . m — 1 , et ajoutons les équations ainsi obtenues, nous aurons 

 pour k'>kg 



(20) fXk) +f(k + 1) + . . . +fXm -- 1) = p\œ)dx - 1 {/(m) -f(k)} 

 + ^ {/» -f(k)} (-1)'' ^^^^;^^^ {/-'-"(m) -/--') (^0 } 



+ 



(-1)"5«+. 



A=ni— 1 

 V 



1.2... (2/1 + 2) ;,r* 



Ö {/*'+■' (A +i)_/2''-'>(/0} . 



