Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 7 



Théorème I. Soit f(x) une fonction réelle de la variable réelle x, 

 qui reste finie et continue pour x > 1 , <;< soient ses 2 n -f- 2 2)remi(;res dérivées 

 finies et continues pour x > k^ , n étant un nombre entier j^ositif ou nid; sup- 

 posons, que 



lim/^"+''(.t) = , 



et que la fonction P"+^'(x) ne change jjas de signe pour -s.>\ ,k^ étant un 

 nombre entier positifs on aura pour k > k,, la formule 



(- 1)" ^ f-^Hk) + (-1)" ^-^^ P''+'\k) , 



^ ^ 1.2.3. ..2n' ^^-t-^ M.2.3...(2»i + 2)'' ^^' 



oh l'on désigne par o une quantité, comprise entre et 2, et par K une 

 quantité, qui ne dépend pas du nombre k, et dont la valeur est donnée par 

 la formule 



+ I 



2 



B 



jj\^)dx - ^ {f\k + 1) -fXk)] + 



Désignons par a une quantité réelle quelconque et par b une quan- 

 tité, qui satisfait à la condition 



et posons 



f{x) = x''(}ogxy' , 



nous aurons 



f'Qc) = ax"-' (log x)" + 6.1'"-' (log x)'-' , 



d'où l'on peut conclure, que la dérivée /'(a;) n'est pas d'un ordre supérieur 

 que la fonction «""' (log ^•)' . Eu différentiant de nouveau, nous trou- 



