8 A. Berger, 



verons, que la déi'ivée /*''(*■) n'est pas d'un ordre supérieur que la 

 fonction x''~''{\ogx)'' . A cause de la forme de ces dérivées ou peut dé- 

 terminer deux nombres entiers positifs n et k,, ainsi, que 



lim/<^"+»(.r) = , 



X=ao 



et que la dérivée y*'*"+^* (a,-) ne change pas de signe pour œ > k^ . Par 

 suite on peut appliquer le théorème précédent à cette fonction f{x); 

 et puisque la quantité Ä' dans ce cas dépend des quantités a et b, nous 

 remplacerons K par K{a , 6) , et par une réduction facile nous trouverons 

 pour k > k^ la formule 



(24) V h" (log h)' = r x" (log xf d X + K{a , b) + ^ "Oogl^Y 



Ji 2 



+ eÂ;«-'(logA-y ja+ ^ 



A=l 



log A: ' 



où l'on désigne par e nue quantité, qui est finie pour toutes les valeurs 

 du nombre k. La valeur de la quantité K {a , 6) est donnée par une 

 formule dans le théorème précédent; pour a < cette formule peut être 

 simplifiée; en effet, les dérivées 



s'annulant dans ce cas pour .r = oo , nous aurons 



(25) K(a . 6) = ^l^iil' + 1" i ^'C^ogkr + ik+iniogik+l))" 



i 



^''(log.r)' J.r 

 t 



Ajoutons à cette égalité l'identité 



(26) = - ^^Qg ^y + "f k"(iogkr-(k+iniogik + i)r ^ 



nous en obtiendrons 



(27) K(a , 6) = 'f I k'-Qog k)" - j 'ï' (log x^J x j . 



