Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nomhres. 9 



La quantité 0, (jui entre dans le second membre de l'équation 

 (24), étant assujettie seulement h la condition d'être finie, cette équation 

 est évidemment vraie aussi pour 



^ = 1 , 2 , 3 , . . . . /„ - 1 . 



Par là est démontré le théorème suivant: 



Théorème II. Si l'on désigne pnv a une quantité réelle quelconque 

 et par b une quantité, qui satisfait à la condition 



6>0 , 



on aura, k étant un nombre entier positif, 



"i A"(log ky = Cx-Oogxyd,- + K{a , b) + ^:!(l£^ + ,t'-\\ogk){a+^\ , 



h = l Ji " 10g A.' 



OU Von désigne par e une quantité, qui est finie pour toutes les valeurs du 

 nombre k, et par K(a , b) une quantité^ qui ne dépend pas de k; pour 

 a < on a 



/v(a ,b)= Z f^'"(Iog ^0'' - I ■'-■"(log .^^'dA . 



Exemple 1. Posons 6 = 0, nous aurons pour toutes les valeurs 

 réelles de la quantité a la formule 



(28) "i If = ^°^'-/ + A'(a , 0) + il + Ö a k"-' ; 

 pour rt = — 1 , on en déduit 



(29) |l = l„gt + A-(-1.0) + J^_-^. 



De cette formule on conclut, que la quantité K(~ 1 ,0) est égale 

 à la constante d'EuLER, qu'on désigne ordinairement par C. 



Exemple 2. Pour 6=1 on aura, a étant une quantité réelle 

 quelconque, 



(30) 'l h' log h = fx" \og.vdx + K(a , 1) + ^lI^ -f e /;'"-' (a log ä,- + 1) 

 A = I - 1 2 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 



