Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 11 



nous aurons 



(37) /v (- 2 r , 0) = ^- + 'y 1- 



^ ^ ^ ' ^ 2r~l ^ ,Z A"" 



et, par suite, en y appliquant l'équation (4), 



(38) Â'(- 2 r , 0) = L_ j. ßr(27iy' 



2r-l^ 2. 1.2.3...2r 



§•2. 

 DE LA FONCTION A'(- 1 + .r , 6) . 



En désignant, comme précédemment, par b une quantité, qui 

 satisfait à la condition 



et en posant dans l'équation (27) 



rï = — 1 4- X , 

 nous obtiendrons pour x <l 



(39) /v (- l + .v,b) = "i j ^•--(log kr _ j'ti.+.^iog. ,y ^, j ^ 



et en différentiant les deux membres de cette équation r fois par rap- 

 port à .1', nous aurons 



(40) A'<^>(_ 1 + X , h) = 'Z I Ä-i+\'log hp" - rV-'^X^og zy+'-dz 



k=l [ Jk 



et, par suite, 



(41) A'<" (— 1 + .r , ^0 = A'(- 1 + A- , 6 + r) . 



La fonction A(— 1 -f .t; , 6) et ses dérivées étant- finies et conti- 

 nues pour cl' < 1 , nous aurons d'après la formule de Maclaurin le dé- 

 veloppement 



(42) K{-\+x,b)=K{-l,b)+K{~l,b+l)j+K{-l.l> + 2)^^ + ... 



+ K{- 1 ,/; + «_ 1) -^^l ^ + K , 



i .2 . . .[ji — 1) 



