Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 15 



§• 3. 



SUR QUELQUES RELATIONS ENTRE DES SÉRIES ET DES 



VALEURS MOYENNES. 



Désignons par a et 6 deux quantités réelles, qui satisfont aux 

 conditions 



(57) a > , 6 > — 1 , 

 et par 



''■1 î ^2 1 '^3 1 '^i > 



une suite de quantités réelles, et supposons que l'on a 



(58) lira ^'i+^2 + ^^3 + --- ±^ _ c , 



^ ^ „=« n''(logn)'' 



où C désigne une quantité finie. Cela posé, en définissant une fonction 

 F(z) au moyen des équations 



F{z) = pour < 2 < 1 , 



F{z) = Cj pour I < < 2 , 



F{z) = 6-1 + c^ pour 2 < 2 < 3 

 et, en général, 



(59) F{z) = Cj + Cg + C3 + .... + f„ pour 7i<z<n +1 , 

 on aura 



(60) - ^(^) ^ ^1+^2 + + ^n n' (log ny 



^ ' «"(logz)' «"(iogn)' ■ 2" (log 2)" ' 



où ?z = 2 — {> , en désignant par p une fraction propre, et par suite on 

 obtiendra des équations (58) et (60) 



(61) lim f (^) - = C . 



^ ' .=00 0<'(log2)' 



Soit w une quantité positive, on aura 

 ^^^^ (a + îr)n''+'" ^ j„ 7^^^+^ ' 



