Uecherchks sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 17 



où la fonction ¥^(c) est finie })our tontes les valeurs finies positives de 

 2, sauf pour c = 1 , si ^ est négatif, et où 



(68) lim J(^^ ^^ = Ü , 



on obtiendra des équations (66) et (67), en observant, que F{:) = c^ 

 pour 1 < s < 2 , 



^_^._ fi__J ) I .,r (\ogzydz r vçz^dz . rn=)dz 



' a+iv^ (1+(Î)«W"^ J^^^ -i+- -r J^^^ ^,.+x+. -t-j^ ,„+!+. ^ 



/i étant une quantité plus grande que l'unité. Dans ce qui va suivre 

 nous nous servirons de la notation 



APjXz) 



pour désigner une valeur moyenne de la fonction f\z), lorsque z varie 

 entre a et b. Cela posé, l'équation (69) peut s'écrire 



(70) -j— "v" ^^ = ^1 (i _ 1 ] ^c r (logf)'^i 



Nous distinguerons maintenant deux cas, suivant que h = — 1 

 ou 6 > — 1 : 



1) Pour b =: — 1 on obtiendra de l'équation (70), en y posant 

 1 



U' 



^ ' a + w tt, n"+" a + if ^ (1 +fy)"+"'/ "^ ./i+^5'+"' log c 

 ^.À in^-)log^-) fi dz A W{z)\ogz \ r dz 



Nova Acta Reg. Soc, Sc. Ups. Ser. III. .^ 



