Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 23 

 Posons ?i + 1 au lieu de n dans la dernière somme, nous aurons 



"£ F{7i) i X' log xdz 4- "~Z F{n) j .r log œdz 



ti = k . » = A' 



2 i^(") I .r"log.«(/;— F(Â;) I .ïMoga;^^ 

 i^(2')a;^ log .ï ih + i^(Å)^<*+'' 





= 1 ^n'' 



"(*+I)*l 



FÇk) 



= _ 1 i?'(s').r^ log .ï rie + :Li^ . .r(^+"'/L-'" . 

 Pour /fc = oo on en déduit à l'aide de l'équation (94) 



(96) ^ "2 CnX"' = - f F{z')x' log xclz . 



n = l <-■ I 



De l'équation (94) on tire 



(97) F(z^) = Cz''+W(z) , 

 où la fonction W(z) jouit de la propriété 



(98) lim ^ = , 



ï=oo Z 



et, par conséquent, nous obtiendrons de l'équation (96) 



Y c„a;"' = -C i z''x' log a-d^ _ / ^V'(z)x' log a;^^ — f 'F(z)x' log .^;d^ , 



n=l "^l -^l -V 



OÙ ^a désigne une quantité plus grande que l'unité. Nous en concluons 



(99) Y c„.î;"'= _ C rz"x' log xdz - < i^^j ß^x' log xdz 



n=l Jl ( ^" ) "^l 



f 2 ^ t,'/t 



Multiplions les deux membres de cette équation par ( — log x)" , 

 et posons 



^ = - ^ 



. log 



