Recherches sue les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 25 



Par U\ est démontré ce théorème : 



Théorème V. Soient a et h deux quantités positives, c, , Cj , Cg , . . . 

 un nombre illimité de quantités réelles, et x une quantité positive plus petite 

 que Vunité^ on aura 



lim (1 _ x)" Y t'„a-"' = /'(« + 1) lim "^' + '' "^ ^'^."^ " "^ ' " ' 

 r-i ,1-1 M=» n 



pourvu que la limite dans le second membre soit une quantité finie et dé- 

 terminée. 



Exemple 1. Par les substitutions 



c„ = ""-' ,6 = 1 

 nous trouverons 



lim (1 - a-y y n'-'x" = /'(a + 1) lim ±^ — +•• + " — = /'(«+1) • - = lia) . 



x=i „=i n=x n" a 



Par là est démontré, que: 



Si l'on désigne j)ar a ime quantité positive et par x une quantité plus 

 j)etîte que l'unité, on aura 



(104) lim (1 - .r)" Y n"-'x" = /'(«) . 



1 3 



Pour a = - et a = - on en déduit les formules 



2 2 



lim vn_~^ f jl + -^1 + -i + ^ + . . .1 = V^ , 



Vl V2 VS V4 ^ 

 lim V(l-.îO' (V^-^' + V^'.r' + V3"a;' + V4 ,t' H ) = ^ . 



Exemple 2. Posons 



-1 _ 1 



o 



nous obtiendrons du théorème précédent 



l «=00 / 1 • 



lim (1 - .r)* Z x" = /' 1 + - 



■=i n=i ^ 6 



Nova Acta Keg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



