28 A. Berger, 



De cette formule résulte le théorème suivant: 



Théorème VI. Soit b une quantité positive, c, , c^ , Cg , . . . un 

 nombre illimité Je quantités réelles, et w une quantité positive, on aura 



lim w' "2 -^^ =/'('->+ lim ^ljffL + ii + l^±A , 

 «=o „^, n'" "=- (log «)' 



jjourvu que la limite dans le secoml membre soit une quantité finie et dé- 

 terminée. 



Exemple. En posant 



_ (log »y-' 



n 



où 6 > , nous obtiendrons de ce théorème 



y(logjO^ 



(117) lim w' "z (-^"e^y-' _ i ^çi^ 1) li^^ :^2 k 



^ ^ .=0 „r, «'+'° «=- (logn)' 



'^" (loga-y^v/a- 



= /'(6 + 1) lim ■" 



r {logxy-'dx 



AlZZir = /-(6 + 1) lim ^^°g '^y - ^'"g ^)^ = 7X6) ; 

 (logn)" ^ ^ ,.=0, bQogn)' ^ ^' 



on retrouve ainsi l'équation (92); pour 6=1 et 6 = - on en tire 



(/ = 00 1 



lim w Z —nr- = ^ 1 



n = l 



n' 



71-» 1 



lim ^w y, ^^^- = V^ . 



"=0 «=2 n'+^Vlog n 



Désignons par a et 6 deux quantités positives et par c^ , f^ , c'j , . . . 

 une suite illimitée de quantités réelles, et supposons, que l'on a 



(118) - lim "' + "' + '' + • • • + ^'" =C , 



^ ^ «=0= (logn)' 



C étant une quantité finie. En définissant, comme ci-dessus, la fonction 

 F{z) par l'équation (59), nous en obtiendrons 



(119) lim-Z^ = C 



-'=» (log zy 



