Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. -29 

 De la formule 



(120; ,t""= - ( .,:Mog-,rr/^ , 



qui subsiste pour < j- < 1 , ou tire 



(121) 2 c„.r"''= _ :^ e„ 1 ,,-' log ,dz = - Z FÇn) x' \ogxdz 



n=l /1=1 J n" n=l "^ n" 



+ '|V(n-l) r.'-log.;cZ^ , 



(1=1 t'n" 



et par suite, eu substituant n -\- 1 au lieu de ?j dans la dernière somme 



(122) ï c,x"" = - "î i^(n) fx' \ogxdz+ "Y F(n) fx' log xdz 



«=1 )i=l ■-'"'' »1=1 "-'(n+l;" 



= - :S F{n) j x' log xdz- F(k) j x' \ogxd2 



„=i ,'("+1)" 

 = - Z i^C-'-ja,-' log .ïc/.' + F(k) .,'*+"" 



^(X + l)" 



0l\ 



= - J^ i^(ci).^ log.d. + (î^. -'^-^""(log ^)' . 

 Pour ^' = 00 on en dtkluit, en faisant usage de l'équation (119), 



(123) "le„x''''=- f F(z")x' log xdz . 



De l'équation (119) -on tire 



(124) i^(2«) = --^(log.)'+n^) , 



(125) lim -^^ = O , 



z=» (log 2)' 



