32 A. Berger, 



Par là est démontré, que 



Si l'on désigne jjar a et h des quantités positives et par x wie quan- 

 tité positive plus petite que Vunité^ on aura 



(130) Km- \ '-f (log nf-' ^.. ^ 1 



'°«T^)' "• 



*=i {\ 1 _V „=i n a''b 



X 



§• 4. 

 THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES. 



Désignons dans ce qui suit par p^ , p.^ , p^ , . . . les nombres pre- 

 miers positifs, rangés par ordre de grandeurs croissantes, de la ma- 

 nière que 



Pi = 2 , Pä = 3 , 1>3 = 5 , p, = 7 , , 



chaque nombre positif m peut se mettre sous la forme 



m = ;^«. 77«. p«3 , 



où les exposants sont des nombres entiers positifs ou nuls; de plus le 

 nombre m ne peut se mettre sous cette forme que d'une seule manière. 

 Cela posé, attribuons dans l'expression 



pa, pp pu, .... 



aux exposants «, , «^ , «3 , . . . toutes les valeurs entières, positives et 

 nulles, et combinons ces valeurs entre elles de toutes les manières pos- 

 sibles, nous en obtiendrons tous les nombres entiers positifs, et nous 

 n'obtiendrons que des nombres entiers positifs; enfin nous obtiendrons 

 par là chaque nombi-e seulement une fois. De là résulte immédiatement 

 le théorème suivant: 



Théorème VI II. Si l'on désigne par f(m) une fonction, bien dé- 

 terminée pour toutes les valeurs entières positives de la variable m, et par 

 Pi > P2 1 Ps ' • • • ^^'** ^^^ nombres premiers positifs, on aura 



m = 00 

 («I . «s,- . = 0.1 ,2, ..) ni=I 



pourvu que la série dans le second membre converge indépendamment de 

 l'ordre de ses termes. 



