Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 33 



Soient maintenant f{m)^ fx(jn), ^f*(m) ^ (j{m) des fonctions bien 

 déterminées pour toutes les valeurs entières positives de ?n, et suppo- 

 sons, que la fonction g {m) satisfasse à la condition 



(131) r/ (m) (j (;ti) =//(m??) 



pour tons les nombres entiers positifs m et ?*, on aura évidemment une 

 égalité de la forme 



111= Xi H = oO 



(132) V V jXui)g{,n)j\(n)g{n)4>{mn)= Z c,<P(k) ; 



m = l 71=1 i-=l 



eu effet, si l'on attribue aux quantités m et n toutes les valeurs entières 

 positives, nous n'obtiendrons de l'expression <t>{mn) que des termes de 

 la forme ^(A;), où k désigne un nombre entier positif; quant au coeffi- 

 cient (\., celui-ci sera évidemment déterminé par la formule 



(133) c, = zz/(»o.'/("0/;('0//oo , 



m 71 



où les nombres positifs vi et n sont combinés entre eux de toutes les 

 manières, qui sont compatibles avec la condition 



m 



n = k 



par suite, en désignant par d un diviseur positif quelconque du nombre 

 k et par d^ le diviseur complémentaire, ainsi que l'on aura toujours 



dd^ = k , 

 l'équation (133) pourra se mettre sous la forme 



(134) c, = lf(d)yid)f\idJg(dO 



ou, en y appliquant la condition (131), 



(135) c,^gik)lf(d);\Çd,) . 



rf<;, =i 



En introduisant dans le second membre de l'équation (132) la 

 valeur du coefficient c'^., donnée par la formule (135), nous aurons 



m = œ 71 = 00 A'=cc 



(136) 2 /(m)//(m) l J\{n)gin)<P^mn) = 2 g{k)<P{k) Z J\d)j\{d,) , 



11,1, = k 



ce qui démontre le théorème suivant: 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



