34 A. Berger, 



Théorème IX. Si l'on désigne par- f (m) , fi(m) , *(m) des fonctions 

 bien déterminées pour toutes les valeurs entières positives de la variable m, 

 et par g (m) une fonction, qui pour tous les nombres entiers positifs m et n 

 satisfait à la condition 



g{m)ff{n) = f/imn) , 

 on aura 



m=oo 

 V 



/(m).^(m) 2 A(n)g(n)<P(mn)= l i/W*WZ/0O/.W) , 



pourvu que les séries dans les deux membres convergent indépendamment de 

 Vordre de leurs termes. 



Introduisons maintenant les notations 



(137) W{k)= ^f{d)f\{d,) 



et 



(138) W{k) = ^(1) + ^/(2) + ^(3) + . . . + ^>{k) , W{0) = , 



et appliquons sur le second membi-e de l'équation (136) la formule de 

 transformation de séries, qu'on doit à Abel, nous aurons 



w = co 



(139) Z f{m)g{m) Z f\{n)ff{n)4>{mn) = lim ^ g (k) 4> {k) ^> (k) 



i=s 



= lim 2 nk){9{k)4>{k)-g{k + 1)*(Å + 1)) + ns)g{s + l)^{s + 1] 

 = ï W{k)[g{k)<P{k)-g{k +l)4'{k+ 1)) , 



en supposant, que l'on a 



lim ¥'(s)^(s + l)*(.s+l) = ; 



en vertu de ce qui précède nous aurons le théorème suivant: 



Théorème X. Soient f (m) , f, (m) , 4>{m) des fonctions bien déter- 

 minées pour toutes les valeurs positives entières de la variable m, et g (m) 

 une fonction., qui pour tous les nombres entiers positifs m et n satisfait à la 

 condition 



g{m)g{n)=g{mn) ; 



