Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 35 

 posons 



dd,=k 



et 



W(k) = v'(l) + '/'(2) + V'(3) + . . . + if^(k) , 



et supposons que 



lim "f («).<?(*■ + 1) ^'(.s + 1) = , 

 nous aurons 



1 f(>n)gOn) V fXn-)gCn)<i^(mn)= Z nZ-OCy^O *W-//('^- + l)*('fc+l)) , 



m=l n=l A=l 



pourvu que les séries dans les deux membres convergent indépendamment de 

 Vordre de leurs termes. 



Posons maintenant l'équation (137) sous la forme 



(140) ^'{k) = yf{d)ff 



d 



où (/ est égal successivement à tous les diviseurs positifs du nombre Å, 

 et désignons par E{x) , x étant une quantité réelle, le plus grand des 

 nombres entiers, qui ne surpassent pas a;, de sorte que l'on aura 



(141) Q<x-E{x)<l ; 



soient de plus h et k deux nombres entiers positifs, il s'ensuit, que la 

 différence s. 



eB-e(^) 



h 



sera égale à 1 ou à 0, selon que h. divise ou ne divise pas k, et par 

 suite nous obtiendrons de l'équation (140) 



(142) </' (^) = ï j E (^) - E (-^^)[ /(/O/x [j) , 

 d'où l'on tire, n étant un nombre entier positif, 



(143) Z V'W = 1 m 1 U j) - ^ Ft^ /■ 7 • 



