Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 39 



Théorème XL Soient f(m) et f,(m) des fonctions bien déterminées 

 pour toutes les valeurs positives entières de la variable m, et posons 



^'{^) = Zf{d)f,{d,) , 



Fm = m +/(2) +/(3) + . . . . +f(k) , F(S)) = , 

 PÅ^) =/i(l) +/i(2) +/;(3) + . . . . ^-_t\{k) , F.(0) = ; 

 en désignant par q un nombre entier^ qui satisfait aux conditions 



0<g<n , 

 et en posant 



a = E 



on aura 



lHk)=lF, {E{'i))f(h)+lF[E{'l))f,(h)-F(q)F,(a) . 



Posons maintenant 



q = , q = E(]/n) , q = n , 

 nous obtiendrons de ce théorème les formules suivantes: 



(159) l\>(lc-)=àl''F(E('l))f,(h) , 



*=1 h=l " 



k =71 A = £'(l'I) 



i=l 



(160) î ^'(k) = y" ji<'(^(^))/,(A) + F, {E{fj)f(h)\ 

 -F{E{in))F{E(}/n)) , 



(161) lV(i) = ï>i(^(^))/(/0 



