44 A. Bergee, 



Puisque d'après la supposition /i(l) n'est pas nul, les valeurs de 

 la fonction /2(7«) seront finies et déterminées; dans ce qui va suivre 

 nous appelerons /2 (m) la fonction conjuguée de /i(m); les fonctions /1 (m) 

 et /2(^0 entrant symétriquement dans les équations ci-dessus, fi{m) sera 

 aussi la fonction conjuguée de /2 (m). 



Remplaçons maintenant dans le théorème IX les fonctions 



/("0 , /.(»0 » *("0 



par 



011/2(7«) est la fonction conjuguée de /(m), nous aurons 



ou, en y appliquant les équations (173), 



111 = ce n= rjj 



(174) g{ï)^{x)= Z /.0%("0 Z /2 00^(»)*0""'^0 • 



De la formule 



il{m)g{n) = g{inn) , 



qui subsiste pour tous les nombres entiers positifs m et 7i , ou tire 

 pour « = 1 



(175) </(m){^(l)-l}=0 . 



Excluons le cas, où y {m) est nul pour toutes les valeurs positives 

 entières de m, nous aurons 



(176) ^(1)=1 , 



et nous obtiendrons de l'équation (174) la formule 



(177) *0f)= 1 f\(rn-)g(m) Z f2(n)g(r>)<P(mnx) , 



m=l n=l 



ce qui démontre le théorème suivant: 



