Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 45 



Théorème XII. Soit *^(x) une fonction quelconque ^i ï^{wi) une fonc- 

 tion, qui ne s'annule pas pour m .— 1 , et fo(m) /0! fonction conjur/uée de 

 fj(m); en désignant par g (m) une fonction, qui satisfait aux conditions 



g{m)<j{n) = !/(m») , g(l) = 1' 



pour tous les nombres entiers positifs m et u , on aura 



»i = « n = Qo 



*c^o= z /.(»0 .'/('«) z /;oo.'/('0*0"»-^o 



m — X *i = 1 



pour toutes les valeurs de la variable x , pour lesquelles la série dans le sC' 

 cond membre converge indépendamment de Vordre de ses termes. 



Posons dans l'équation (177) 



nous aurons 



(178) 



r /i("0^("0 . "V /2 (»)</(») _ 1 



m 



En remplaçant dans le théorème IX les fonctions 



par 



1 1 fi(jn)g(m) , — - , 

 m 



nous obtiendrons 



(179) ■yJ(aLY /-WfW ,'f 1 V ,-(rf)/.w)<,w) 



m=l "* n=l '* i=l «^ drf, = * 



Multiplions les deux membres de cette équation par 



"y" f.(n)g(n) 

 r, n' 



et posons 



A(A:)= :,f(d)f{dOgidO , 



