46 A. Berger, 



il vient alors, d'après la formule (178), 



7?i=i 



(180) f 1^^ = 2 JiCüM^L 2 Ji^_ 



„,=i m' „=, îi' i=i a;' 



et i^ar conséquent, en appliquant la formule (179) au second membre de 

 cette équation, 



(181) V _/k!^= i ^ lUd).j{,l)h{d,) . 



m=l '"■ m=l "* rfi/i=ni 



En éa-alant les uns aux autres les coefficients de -— dans les 

 deux membres, nous obtiendrons 



(182) /(^0= lf,{<^)9{d)h{d,) ; 



de là résulte ce théorème: 



Théorème XIII. Soit f(m) nue fonction quelconque, fi (m) une 

 fonction, qui ne s'annule pas your m = 1 , J\ (m) la fonction conjuguée de 

 /i(ra); en désignant par g (m) une fonction, qui satisfait aux conditions 



g{m)g{n) = g'^nin) , (/(1) = 1 

 pour tous les nombres entiers positifs m et n , et en j)osant 



h{k)= Z/('0/.('/i)//W , 



on aura 



fik)= lf,id)gCd)h(dO . 



Si l'on y remplace g{k) par 1 et h{k) par i/'(^:), ou trouvera qu'en 

 faisant 



(183) . V'W=Z/WiW, 

 on aura 



(184) fxk)= z/;(fOv'W • 



