Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 51 



nous aurou>^ 



lim ^^-^ = . — ^ — ! — - — î^-!— ! — - pour ,s > — 1 . .«, = ,s' , 



«=»n^+'(log»)'+'' + ' s + 1 llt + t,-\-2) ^ 



i=« :(log n)'- - ^ + 1 (-1-.0"- "^ ^ ' ' '1 ^ 



it?' s = 1 , c«i < .« , 



pourvu que les limites clairs les premiers membres soient des quantités finies 

 et déterminées. 



Pour la démoustration de ce théorème nous avons employé les 

 théorèmes IV et VI; maintenant nous le démontrerons dans deux cas 

 spéciaux au moyen des théorèmes V et VII; remplaçons pour ce but 

 dans le théorème IX les fonctions 



/7("0 , /(»0 ,/i("0 . *(^) 

 par 



1 , 7/i'(log m)' , m''' (log ??i)'' , ./ , 



nous aurons 



j;i = CO 7j = X i = 00 



(201) 2; m^logm)' 2 ?r''(logn)'' .r"'" = 2 V'(^)-^'* , 



m = l »1 = 1 A = l 



en posant 



(202) yp {k) = Zd' (log dyd': (log dj- . 



En permutant les quantités .s , .«j et ^ , ^ , nous obtiendrons de 

 l'équation (201) 



(203) 2 m'- (log m)'' Z 71' (\og n)' x"'" = 2 «/»W'^'* , 



