Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 55 



(216) lim ^) = -\i/v(^ -.^-1,0) —\ pour s>- 1 , s,<s , 



(217) lim ,'^^"^^., = i pour ,^ = — 1 ,.«,=- 1 , 

 «-CD (lüg nj' 2 



(218) Hm J^^ = K{s^ , 0) ?—- pour s = _ 1 , s. < .9 , 



« = » log V2 «1 + 1 



OÙ la fonction ¥^(îi) est déterminée par l'équation 



(•219) nn)= ^'(1) + «/'(-') + --- + '/^(«) • 



Pour la démonstration des formules (215), (216), (217), (218) nous 

 avons supposé, que les limites dans les premiers membres soient des 

 quantités finies et déterminées. Maintenant nous exposerons une autre 

 méthode pour l'évaluation de la fonction ¥'(n), et nous trouverons, que 

 les formules ci-dessus sont rigoureusement vraies; nous considérerons 

 aussi le cas, où .s < — 1 . 



Soient s et .«j deux quantités réelles, qui satisfont à la condition 



et posons dans les équations (159), (160), (161) 



nous en obtiendrons 



(220) ip{k) = Z (/•■(/!■ 



et 



(221) Iip(k)Jï'F{E(^^)h'- , 



(222) l^p(k) J~'T\F{En A-. + F, (i^^g)) h' 



-F[E{in))F[E(\n)) , 



(223) 'ïip{k)='ÏF,{E(^l))h^ , 



