Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 57 

 ■ou, par développement eu série suivant les puissances croissantes de ^ , 



(230) F{EC.v)) = ^Ç~=^ + K(s , 0) + À..' , 



■où X est fini pour œ > 1 . De cette équation on tire 



W^ ~ (.s+l)/i 

 «t 



(^^^) ^(^©) = ^:^^ + ^^>-«) + 4^ 



s+i 



(232) F [E {]/n)) = 2 /t^ = ^^ — —- + Ä'(s , 0) + À, n^ . 



^ ' /,=1 « + 1 



En y remplaçant .•? par Sj nous aurons des expressions analogues 

 pour 



F, (£©) , F, (Eifi)) . 



Cela posé, introduisons les expressions ainsi trouvées dans l'équa- 



j tion (222), et désignons dans ce qui va suivre par À , À, , À^ , A, 



des quantités finies pour toutes les valeurs du nombre n, nous aurons 

 la formule 



(233) 2;^(^)= 2 \-^^=l^ + K(s,0)h^' 

 i=i /,=1 ( (,* + J-j/i 



-r 2 -r j.^.^ _j_ i^j^s,-s+i -r \i ^ j t a 



' - ^ + /i(.^ , 0) + Â,n^! i " ' ~,^ + /vO"*! , 0) + l,J 



«t par suite, en y appliquant la formule (232), 



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