Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 65 



§• 7. 



^ /rt = 00 7J = oc 



DE LA SEEIE 21 I m'n''a'""' . 



Soient X , s , s, des quantités réelles, et .s ^ Si , la série 



771 = ce 7i = X 



Z Z m'ifœ'"" 



m=l n = 1 



est évidemment convergente pour — 1 < a; < 1 , mais divergente pour 

 x^ > 1 . Nous évaluerons, dans ce qui va suivre, la somme de cette 

 série pour les valeurs de x, qui diffèrent très peu de l'unité, et pour ce 

 but nous nous servirons du théorème XVI. 

 Posons dans le théorème X 



g (m) = 1 , /(m) = m" , /i()/0 = m" , «/>(^') = x' , 



nous aurons pour — 1 < a^ < 1 la formule 





(251) Z '"' 1 ""•«'"" = (1 --^) I ï'C^-j.î;' 



7n = l n = l 



où la fonction ^(k) est déterminée par les équations 



W(k) = v'(l) + V'(2) + . . . + VC-^O , V'(^-) = 1 d^d^ ' 



dd,=k " 



Nous distinguerons encore les quatre cas suivants: 



I. Pour s ^ — 1 , .s, ^ — 1 , s > Si nous obtiendrons du théorème 

 XVI et de l'équation (251), en supposant d'abord que *■ > «, , 



(252) ^ Z m' l n"x""' = — ^__U:(s,_s-l ,0) ^— 2 ^"^'-ï' 



+ -^\k(s -. s, - I , 0) L^j 'ï ^^'^' ^^' 



«1 + 1 ( s — Si j < = 



= 1 



I s _)_ 1 ^ I Si + 1 j 1 — .r t=i 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. O 



