Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 73 



où #1 et 0, désignent des quantités finies, nous obtiendrons de l'équa- 

 tion (274) 



1 //( = IÄ 71 = «S 



(275) (1 - ^0'+' Z m' 2 n'x""- - [K(s , 0) _ 



' »i = 1 11 = 1 



s+\ 



■ ^'^ {1 + 0,(1— -or "^ 



--{/•■(.^4-l)+2A-(-l,0)r(s+l)} 



{l+ö,(l-,r)r+^' 



+ ^(1 _ ^.)-'+'' (log (1 - .0 + «. (1 - .r)} + ^ (1 - ..)'+' Ï ^'^/ 



i= 1 



+ Â,(i_:,.r^'ïr^...* . 



De l'équation (104) on tire 



3\ , : \ 





- 1 3 



= (1 — 2-)^ lop- pour s = 



= ^3(1 --^-y^' pour s<- 2 , 



où f, = , f, = pour .« = 1 , et où l'on désigne par l.^ une quantité, 

 qui est finie pour x<l, et par conséquent nous obtiendrons de l'équa- 

 tion (275) pour ,r = 1 



(1 _ ^.y+i 2 '»^ Z nV""-(ÄX^O) J-j +/(..+ l)log(l-xO 



1 m=l n = l '^"T ^ ) 



(276) lim 



.r=l 



= /%^+l) + 2AX-l ,0) /•(..+ !) . 



Des formules (256), (257), (258), (259), (262), (276) résulte le 

 théorème suivant: 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 111. 10 



