Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 77 

 d'où 



(281)2 (log /,• + A-(- 1 , 0))/= L_ log -^ 1 log ^_ + X 



i = i i — X 1 — X Z 1 — X 



on 



(282) 'ï log A; . / = _i— log -,J_ _' /i:(_ 1 , 0) — ^ 

 i=i J — a; i. —X l — X 



OÙ A est fini pour — 1 < ^- < 1 . Des équations (280) et (281) on tire 



»i = CO 



(283) 2 ~"ï n" x"'" = \k(s, , 0) - ^ J log ^ 



m „=i I «1 + 1 ) 1 



JK = 1 "' 11 = 1 



- ^ l^^'C'', , 0) L^{ (1 - ^) log J— + ^, (1 - ^) 



+ -4t !^^^- ^t - 2 , 0) + — ]^!(1 - x) T ^^'-^' 



* 



1 1 *=«> _2 



- |/v (s, , 1) + -^rrJ -^- + Kl - ^^) 2 ^- 



*=i 



C^. + 1) 



ou, d'après l'équation (104), 



2 t 



m = oo 1 Ji = «> 1 1 \ 1 



(284) 2 --- 1; ""^""' = Ä'(s, , 0) L. log -L. 



,„=1 m „=i ( ^^1 + ^ ) 1 — 



X 



i' =00 



1 \k{- s,-2 ,0) + — 1-j (1 - ,.) Z Ä;''+»:..* 



+ 1 I ^ ' ^ ' .s, + 1 



1=1 



/r(., ,1) + ^ j.. + A,(l-x-)^ . 

 («1 +1)1 



En employant de nouveau l'équation (104), nous aurons 



(285) (1 - 4Z ^"^' *■* = (1 - ^0"""' {'T«i + 2) + f] pour s, > - 2 

 t=i 



= (1 — ,r) log pour s, = — 2 , 



1 — a; 



= ^2 (1 — a;) pour Sj < — 2 , 



