Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 79 



où la quantité /, est finie pour a; < 1 . Puisque on a d'après l'équa- 

 tion (130) 



*t4° log k , (1 , Vi 1 V 



où 4 = pour .X == 1 , on obtiendra de ce qui précède 



(288) 1^^- 'ï (log ^y / = 4\ + ' )(log -~)'' + ^1 . 

 et des équations (287), (288), (282) on déduit 



(289) 2 - 2 ^ - = X i + . log ±-) + k 



+ 2K(- 1 , 0) jlog -^ Â'(- 1 , 0) X - l (1 - .r) log J^- - + À,(l - x) 



I i — X ^ i — X 



+ |/V(- 1 , 0)^ - 2 /t (- 1 , 1)J X + 1(1 - r) 'l k~^ log Å . X* . 



En remarquant que 



\ogk<k'' , 



on aura 



(1 - :^0 Ik Uogk. x' <(l-x) Z x' < 1 , 



et, par suite, on obtiendra de l'équation (289) 



(290) lim "■=> '" n=i n _ i • 



(log— _^ 



2 



Nous résumons les formules (279), (286), (290) dans ce théorème: 



Théorème XVIII. En désignant par x , s , Sj des quantités réelles, 

 qui satisfont aux inégalités 



— 1 < .r < 1 , s > — 1 , .?! < — 1 , 



