Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 81 



Dans les cas, où s est un nombre entier positif ou nul, le second 

 membre de cette équation peut se mettre sous la forme 



1.2.3...* j/vX- l,0) + l + i + l + ...4-ll , 

 et pour .s^ = , 1 , 2 nous en obtiendrons les formules 



«i = co 



(292) lim 2 l"-^^ - ^l :,'" ^ K(- 1,0), 

 ■' = ' m=i (1 —X mj 



(293) li,.Y|^^i^lj... = A-(-1.0)+I, 



(294) li. Tl "''<';:->V^" ^ - -! ■'" = 2 A-(- 1 , 0) + 3 

 D'après cela nous évaluerons les sommes des séries 



(295) V ,„' log ^_i^ , V ^!Li^^ ,2 ™ " 



,„ = 1 . - ... .... . . „ 1 



l_x"' „tli 1-.^"' ' r, (l-a;-)^ 



pour les valeurs de .c, qui diffèrent très peu de l'unité, en désignant 



par t une quantité réelle quelconque. Quant à la première de ces séries 



nous obtiendrons immédiatement du théorème XVIII la proposition 

 suivante : 



En désignant par t une quantité réelle, on aura 

 lim(l-.T)'+^ I m'iog-^i^ = ]\t+l)\K{-^-t-2,()) + ~\pourt>-l, 



x=l ,„=1 i. —X I ' + J-) 



lim \Y ^n' log ^^ - (K(t , 0) - ^—) log -J— j 

 = - K(t , 1) -.- -7^—-^ pour t<^l 



et 



m = CO 1 -I 



2 -log 



lim 



,„=, m I —x" 



og 



1 Y 2 



l-x 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. . U 



