Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 83 



De ces deux formules et de l'équation (291) résulte la proposition 

 suivante : 



En désignant par t une quantité réelle, on aura 



lim (1 - aO'+' Y /"^„ = IXt + 1)\k(- ^ - 1 , 0) + 1{ pour t>0 , 



m=x .„t m -I 



lim (1-^0 2 r--"^ = À'(i — 1 , 0) - -1 pour t < 

 et 



lim (1 - ^O Z ^^~ + log (1 - .0 = K(~ 1,0). 



■'=1 ( m=l l — 'V ) 



En posant le second membre de la première de ces formules sous 

 la foi-me 



r(t + 1) l-J^ + — ~_ + -J^ + . . .1 , 



nous en obtiendrons pour i = 1 , o , 5 les formules 



'" = * 1)1 7."' 7,2 



(302) lim (1-^0' 2 



,:!i 1 - -v"' 6" ' 



(303) lim (1 - .ty Z 



'"='- -n^A-'" 7t' 



Il 1 - a;'" 15 ' 



(304) lim(l-.r)^ I ^_ = A^^ 



x=i „=i 1 —a;'" 63 



et, en général, 



(305) lim (1 - xy^ 2 



1 1 — X" 



en désignant par r un nombre entier positif quelconque. 

 Posons dans le théorème XVII 



.* = f , «i = 1 , 

 nous aurons pour t > 1 



(306) lim (1 - xy+' Y "''•^'"' , = /'(^ + i)!ä:(- « ' 0) + — ^- 



.=1 ^ ™tt (1 - x"'f ^ -r ^^ ^ ^^ t-l 



