Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 85 



§• 8- 

 SUR LES NOMBRES PREMIERS. 



Désignons par //i("0 une fonction, qui satisfait à la condition 



pour tous les nombres entiers positifs, premiers entre eux, nous obtien- 

 drons du théorème VIII, en y remplaçant /(m) par .</i(»Oi 



m = '^r, 

 C«,, «2, ...=0,1,2...) "'=1 



d'où l'on tire, en vertu de la propriété sus-dite de la fonction </, (m) , 



(a,, «,...=0,1, -2,...) "1=1 



et, par suite. 



«1 = «.= "] = m = l 



ou 



o = CO »( = 00 



(312) ni; ffiip") = 1 .71 ("0 , 



p « = «1 = 1 



où jj est égal successivement à tous les nombres premiers positifs. De 

 là résulte ce théorème : 



Théorème XIX. Soit gi(m) ime fonction, qui pour tous les nom- 

 bres entiers positifs m et n, premiers entre eux, satisfait à l'équation 



9i{m)g,(ii) =g,{mn) , 

 on aura 



et = 00 /ii = <X) 



\\1 9i{P'')= I ^i("0 , 



pa = /11 = 1 



pourvu que la série dans le second membre converge indépendamment de 

 l'ordre de .st-.s termes. 



■-'-[^ 



<* e^. V^ 



B 



