Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 91 



§• y. 



SUR QUELQUES FONCTIONS CONJUGUÉES SPÉCIALES. 



Dans le quatrième paragraphe nous avons démontré, qu'à chaque 

 fonction /\(^'n), qui ne s'annule pas pour m= 1, correspond une autre 

 fonction /2 (?rt), que nous appelons la fonction conjuguée de /i(m), et 

 les valeurs de la fonction /^(»0 sont déterminées par les équations (173). 

 Dans le cas spécial, où 



nous poserons 



/;(/u) = t,„ , 



et pour la détermination de la fonction t„, nous aurons les équations 

 f, = 1 , ^ + ^, = , 



^ + ^3 = , fj + ^3 + f, = , 



fj + f, = , <^i + f,i = , 



et, en général, pour m > 1 



(334) 2 ^, = , 



où d est égal successivement à tous les diviseurs positifs du nombre m. 

 Des formules ci-dessus on obtiendra 



fi = 1 , f, = - 1 , fg = - 1 , t^ = , éj = — 1 , f, = 1 , 



f, = — 1 , fg = , /-g = , f,u = 1 , <-ii = — 1 , fi2 = , 



et nous démontrerons, que la fonction f,„ ne peut prendre d'autres valeurs 

 que 1,0,1. Du théorème XII on déduit dans ce cas 



m — ce n — » 



(335) 0(,zO= l i/(m) Z f„g{n)4>(innx) 



