92 A. Berger, 



ou, en renversant l'ordre de sommation, 



n=yj m = 00 



(336) *OxO = l e„g(ji) Z ^j(m)<P(mnx) . 

 Eli y posant <P{œ) ^ 1 , nous aurons 



m = X n=-r^ 



(337) Z y{m) Z ^.'/(n) = l , 



m=l 71 = 1 



d'où l'on tire, au moyen du théorème' XX, 



(338) "I ^nHn) = \\il-g(pj) . 



n = l p 



Mais en vertu de la relation 



g (^111)1-1 (il) = g^tmi) 

 le second membre de l'équation (338) peut se mettre sous la forme 



1 /inf/ 00 , 

 11 = 1 



OÙ /(„ = , si n est divisible par un nombre carré plus grand que l'unité; 

 dans le cas, où n n'est pas divisible par un tel carré, on aura //„ = 1 

 ou /i„ = — 1 , suivant que le nombre des facteurs preaiiers du nombre ?? 

 est pair ou impair. En égalant les uns aux autres les coefficients de 

 g (il) dans les deux membres de l'équation (338), nous obtiendrons 



f-n = /'il , 



et par là le théorème suivant est démontré. 



Théorème XXII. En iJésignant par <■„ la fonction conjuguée de 

 Vunité, on aura pour m > 1 



2 ^„ = , 



a 



OU d est égal successivement aux diviseurs positifs du nombre m; de plus on a 



^™ = , 



