Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 93 



si m est divisible par un nombre carré -plus grand que l'unité^ mais 



^,. = ± I , 



suivant que m est composé d'un nombre pair ou d'un nombre impair de 

 facteurs premiers inégaux entre eux; et en désignant par <i*(x) tone fonction 

 quelconque et par g (m) une fonction^ qui pour tous les nombres entiers posi- 

 tifs m et n satisfait aux conditions 



g{m)g(ii) = g{mn) , ^(1) = 1 , 

 on aura 



*0O = Z ^i .'/("•) l!! g(m)4>(mnx) 



n = l 111 = 1 



pour toutes les valeurs de x, pour lesquelles la série dans le second, membre 

 converge indépendamment de l'ordre de ses termes. 



Exemple 1. Posons 



g(rn)= 1 , <P{x) = a' , 



où < a < 1 , nous obtiendrons de ce théorème pour x > 



Ji = w ni = OD 



a = ^ t-n ^ a , 



)i=i iit^i 



eu y remplaçant a'' par ; , nous aurons pour < c < 1 la formule 



V 



1 ?" 

 Exemple 2. Par les substitutions 



g (m) = 1 , *(.r) = 4- , 

 où < a < 1 , nous trouverons pour x>0 



(J/ ^n ^r» "■ 



— = 2 f« 2 , 



X „=, „=i 7nnx 



X 



