Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 95 



où (if, est égal successivement, à tout diviseur du nombre ?/(., pour lequel 

 — est un nombre carré. De ces équations on tire 



'il = 1 5 '/2 = *^ 5 '/3 = ^7 '/l = — 1 > '/n = > '/6 = ' 

 '/7 = Ö , '/s = , ;/^ = — 1 , /y,„ = , //h = , //,2 = , 



et nous démontrerons, que la fonction ij,„ ne peut prendre d'autres va- 

 leurs que 1 , , — 1 . Du théorème XII on tire dans ce cas 



;n = 00 M = ûo 



(340) *(j;) = Z QmiK'n) Z %gÇn)4>Ç7n7ix) , 



»1=1 '( = 1 



d'où 



(3-11) 0Gc)= :2 //„(/(»,) 2 (>,„</(m)*(mn.iO . 



n = 1 m=l 



Pour 0(tr) = 1 on en dcclnit IV'qiiation 



711 = OD H = X 



(342) 2 ?m^(''0 1 >lny{n) = 1 , 



m=l n=l 



qu'on peut mettre sous la forme 



m = <X) n= Ä 



(343) 2 i7C'«)' I >U9{n) = \ . 



Remplaçons dans Téquation (337) g {ni) par g{my\ nous aurons 



m = 00 11= xj 



(344) Z (/(m)^ 2 ^,//(«)•^=l , 



et des équations (343), (344) on tire 



(345) "ï 'Ingin) ="ï ^„giny . 



n=l 11 = 1 



En y posant 



