Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 97 



on aura 



pour toutes les valeurs de x, pour lesquelles la série dans le second membre 

 converge indépendamment de tordre de ses termes. 



Si l'on désigne par vi un nombre entier positif, et par p^ i P2 i Ih i • • ■ 

 les nombres premiers positifs, rangés par ordre de grandeurs croissantes, 

 le nombre m peut se mettre sous la forme 



m = ^;"i p"2]j"3 .... 



d'une seule manière; par suite les exposants «, , a^ , «3 , . . . sont com- 

 plètement déterminés, et en définissant une fonction numérique À„ par 

 l'équation 



A,„ sera une fonction bien déterminée pour tous les nombres entiers po- 

 sitifs m.. En posant 



TO, =pP^p?^^pl^ . . . . , 



on a de môme 



et puisque 



on a 



î?iî?i, = i)''\+?\ jj«2+ft j;«3+A . , 



de ces équations on obtient la formule 



(347) ' À„„„, = À„A,„, , 



qui subsiste pour tous les nombres entiers positifs m et m^. Les valeurs 

 de la fonction À„, pour les douze premiers nombres sont 



A, = 1 , Â^ = - 1 , A3 = - 1 . /, = 1 , À, = _ 1 , ;.,. = 1 , 



L = — 1 , Âg = — 1 , À,, = 1 , /.jj, = 1 , /.j, = — 1 , À,j = - 1 , 



Nov.1 Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III 13 



