Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 99 



Remplaçons maintenant dans l'équation (337) y(ï?i) par A,„ (/(??i), 

 ce qui est permis à cause de la formule (347), nous aurons 



m = 00 tt— y^ 



(352) 2 Kg (m) l ^,Å„t/C»,) = 1 . 

 et des équations (351) et (352) on tire 



n = 00 /( = OD 



(353) 2 &.^00= 2 f„Kg(n) , 



' n = 1 11 = 1 



d'où 



(354) Cu = fnK . 



Dans les cas, où n est divisible par un nombre carré plus grand 

 que l'unité, on a f„ = , et par suite ^„ = ; mais si le nombre n n'est 

 pas divisible par un tel carré, n peut se mettre sous la forme 



71 = /.»1 ^^27^3 . . . . p, , 



où les facteurs premiers pi , 2^2 ... . ]h sont inégaux entre eux, et l'on a 



.„ = (_ 1)^ , k„ = (_ 1)' , 



et, par conséquent, on tire de l'équation (354) 



C„= 1 • 

 Par là ce théorème est démontré: 



Théorème XXI V. Soit m un nombre entier positifs e^ p, , p^ , . . . p^ 

 toïis lef facteurs premiers inégaux, dont m est composé; posons 



m — p"i pp . . . p'^^' 



et 



K = (- l)«. + «a + - + «.. , 



et désignons par i;„ la fonction conjuguée de À,„, on aura pour m > 1 



drf, = m 



