Recherches sur les valeurs moyennes dans la théorie des nombres. 111 



formule, qui subsiste pour — 1 < .x' < 1 et pour toutes les valeurs de la 

 quantité a . Pour a = et a = 1 on en déduit les formules 



"!^" y( ?»)a;"' _ x 



md -x m^ ~~F\ N2~ 1 



/;i = l 



1 _ .t.'" (1 _ xj 



T-^^^iog--' - ' 



m ° 1 _ a;"' ] —x 



Posons maintenant dans l'équation (404) 

 .ï — 1 , a = 2 -J^ tv , 

 nous en obtiendrons pour w > 



y (m) "y" 1 y- 1_ 



(405) 2 -^^ I — .^- = I 



m = l '" n=I 



En multipliant les deux membres de cette équation par »;, nous 

 en tirerons pour tv = 



m = <ß 



(406) lim.. 1 '^^"^^-V . 



En posant dans le théorème IV 



6 = , .-„ = ««->(«) , 

 nous en obtiendrons, a éiant une quantité positive, 



(407) lin, .. Y -m- - « li- ;'->(l)+'^->('') + ■•• + ''•-'»("-) 



» = -i 971"+" n = » n- 



et, en posant dans le théorème VI 



(p(n) 



6 = 1 , t'„ 



n 



nous aurons 



^^AQN r "v" <^(»0 r 1' 



(408) hm w 2 -^^:^- = li™ ^ 



<^'(1) , 7^(2) , I V<n) 



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«1 = 



m = l 



m^'^'° B=«o log n 



